Question

Derivada de:
(5x^2 + 10) ^cos2x

Answer 1

$\frac{d}{dx}\left(\left(5x^2+10\right)^{\cos \left(2x\right)}\right)$
Aplicamos la regla de los exponentes:
$=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos \left(2x\right)\ln \left(5x^2+10\right)}\right)$
Aplicamos la regla de la cadena$=\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(\cos \left(2x\right)\ln \left(5x^2+10\right)\right)$
Tomamos:
$\frac{d}{du}\left(e^u\right)$
Aplicamos la regla de la derivación:
$=e^u$
Tomamos:
$\frac{d}{dx}\left(\cos \left(2x\right)\ln \left(5x^2+10\right)\right)$
Aplicamos la regla del producto:
$=\frac{d}{dx}\left(\cos \left(2x\right)\right)\ln \left(5x^2+10\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln \left(5x^2+10\right)\right)\cos \left(2x\right)$
Tomamos:
$\frac{d}{dx}\left(\cos \left(2x\right)\right)$
Aplicamos la regla de la cadena:
$=\frac{d}{du}\left(\cos \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(2x\right)$
Tomamos:
$\frac{d}{du}\left(\cos \left(u\right)\right)$
Aplicamos la regla de la derivación:
$=-\sin \left(u\right)$
Tomamos:
$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$
Sacamos la constante y hacemos la regla de la derivación:
$=2$
Entonces:
$=\left(-\sin \left(u\right)\right)2$
Sutituimos y simplificamos y nos da:
$=-2\sin \left(2x\right)$
Tomamos:
$\frac{d}{dx}\left(\ln \left(5x^2+10\right)\right)$
Aplicamos la regla de la cadena:
$=\frac{d}{du}\left(\ln \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(5x^2+10\right)$
Usando la regla de la derivación, nos da que:
$=\frac{1}{u}$
y
$=10x$
Entonces:
$=\frac{1}{u}10x$
Sutituimos y simplificamos:
$=\frac{2x}{x^2+2}$
Entonces:
$=\frac{2x\cos \left(2x\right)}{x^2+2}-2\sin \left(2x\right)\ln \left(5\left(x^2+2\right)\right)$
Sutituimos en la ecuación:
$=e^{\cos \left(2x\right)\ln \left(5x^2+10\right)}\left(\frac{2x\cos \left(2x\right)}{x^2+2}-2\sin \left(2x\right)\ln \left(5\left(x^2+2\right)\right)\right)$
Simplificamos y nos da que:
$=\left(5x^2+10\right)^{\cos \left(2x\right)}\left(\frac{2x\cos \left(2x\right)}{x^2+2}-2\sin \left(2x\right)\ln \left(5\left(x^2+2\right)\right)\right)$