1. Si el vector M tiene una magnitud de 35 y forma un ángulo de 60% con el eje X, determine las
componentes rectangulares de dicho vector.
Fx = F cos a , Fy = F cos b
Estas cantidades Fx, Fy se llaman "proyecciones" del vector F sobre los ejes x, y; mientras que vistos como vectores sobre los ejes, Fx, Fy, se llaman "componentes" del vector F.
F² = Fx² +Fy²
relación obvia si se observa cualquiera de los triángulos rectángulos de la figura 5.
Lo que hemos dicho para el plano, se puede fácilmente generalizar al espacio tridimensional, consideremos un vector F en el espacio, este vector puede ser descompuesto sobre un sistema de ejes cartesianos XYZ, tal como se aprecia en la figura 6, donde î, j, k son los vectores unitarios en cada una de las direcciones de los ejes:
Las tres componentes de F son: Fx, Fy, Fz, cada una en su respectiva dirección de eje. Las proyecciones se obtienen mediante:
Fx = F cos a , Fy = F cos b, Fz = F cos g
y F puede ser expresada como:
F = Fx î + Fy j + Fz k
y observando la figura 6 es fácil concluir para F (módulo de F):
F² = Fx² + Fy² + Fz²
cos² a + cos² b + cos² g = 1
1.5 Suma y resta de vectores (mediante sus componentes).
Dados dos vectores, F = Fx î + Fy j + Fz k , G = Gx î + Gy j + Gz k, la suma F+G o resta F-G puede realizarse analíticamente sin más que operar componente a componente:
1.6 Producto escalar de dos vectores.
Sean dos vectores p , q , se define el producto escalar de p y q como:
p . q = p q cos q
siendo q el ángulo formado por los dos vectores:
Si los vectores p y q están expresados en sus componentes cartesianas:
(obsérvese que p.q es un escalar).
* PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
1) Para dos vectores cualesquiera p, q, se tiene:
p . q = q . p
2) Dados tres vectores p, q, r, se tiene:
p . (q + r) = p . q + p . r
3) Para dos vectores paralelos p, q, se tiene:
p . q = p q
p . p = p²
4) Para dos vectores perpendiculares p, q, se tiene:
p . q = 0
puesto que cos 90º = 1. Teniendo en cuenta las dos últimas propiedades, para el caso de los vectores unitarios en los ejes coordenados cartesianos
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
Magnitudes vectoriales.
Si hacemos un repaso de las magnitudes físicas nos encontramos que éstas pueden agruparse en dos clases bien diferenciadas, las llamadas magnitudes escalares (que pueden determinarse completamente mediante un número, tal como masa, temperatura, carga eléctrica,...) y las magnitudes vectoriales que no pueden determinarse completamente por un simple número.
Efectivamente, decir que un móvil se mueve con velocidad de 150 km/h es incompleto mientras no indiquemos la dirección del movimiento, por ejemplo dirección 35º NE. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la fuerza, momento, campo eléctrico,...
Así debemos distinguir:
* Un escalar es una magnitud que tiene cantidad, pero no dirección.
* Un vector es una magnitud que tiene cantidad y dirección.
1.2 Noción de vector. Suma y resta de vectores.
Un vector puede ser representado por un segmento, OP, con una punta de flecha indicando el sentido, lo cual representa la dirección, y siendo la longitud de este segmento la cantidad de este vector.
Este vector será representado como , o bien, por el nombre que se le dé al vector, por ejemplo F (para los vectores se suelen utilizar letras en "negrita" o letras con una flechita arriba). A la longitud del segmento OP, se la llama "módulo" del vector F, y se la suele representar por: |F| , (NOTA: a veces se suele escribir simplemente, F (sin las barras) para el módulo de F).
Dado un vector, F, por kF nos referiremos a un vector paralelo a F (con la misma dirección de F ) pero con una longitud "k veces" el módulo de F . Por -F nos referiremos a un vector con la misma dirección, el mismo módulo, pero sentido opuesto a F.
* Adicción y sustracción de vectores
En nuestra vida corriente estamos acostumbrados a sumar cantidades escalares, por ejemplo, una masa de 3 kg más una masa de 7 kg suponen una masa de 10 kg. Sin embargo, este tipo de suma no puede utilizarse para los vectores, pues estos están compuestos de módulo y dirección.
La suma de dos vectores, , es otro vector , que geométricamente puede ser representado por el vector que une el extremo A con la punta de C, tal como se aprecia en la figura 2:
Vectorialmente lo expresaremos: F = G + H . El vector F podría ser, por ejemplo, la resultante de dos fuerzas que tienen distinta dirección.
Para la diferencia entre dos vectores, G - H, es equivalente a la suma de G + (-H), es decir, hacer la suma del vector G con el opuesto de H, representado como -H. Tal como se puede apreciar en la figura 3.
En la figura 3, viene representada geométricamente la operación: F = G - H .
1.3 Vector unitario.
Se llama vector unitario a todo vector cuyo módulo sea 1, tales vectores se suelen representar con letras coronadas con un símbolo "^": î, û, ...
Dado un vector no unitario F, podemos definir a partir de él otro vector con su misma dirección pero unitario, sin más que tomar: F/F, es decir, multiplicando a F por el inverso de su módulo, 1/F.
En la figura 4, supongamos al vector F , o bien , teniendo de módulo F. Entonces el vector û = (1/F) F , representa un vector unitario en la dirección de F.
El interés de el vector unitario û es que F puede expresarse como F = F û . Y en general un conjunto de vectores paralelos a F se expresarían de manera análoga, todos ellos como el producto de su módulo por û.
Dos dimensiones:
Consideremos situado en un plano un vector F, este vector puede ser descompuesto sobre un sistema de ejes cartesianos, en forma de sus dos componentes Fx, Fy . En los ejes cartesianos se definen dos vectores unitarios î, ^j, (respectivamente en las direcciones del eje x y del eje y, como se muestra en la figura 5.).
Vectorialmente esta descomposición puede expresarse:
F = Fx + Fy
o también,
F = Fx î + Fy j