si el determinante de una matriz es A es 16 entonces es falso que
a) la matriz A tiene inversa
b) la matriz A es cuadrada
c) la matriz A tiene 2 filas iguales
d) si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det (AB)= 32
e) el determinante de la matriz inversa A´-1 es igual a 1 sobre 16
ayuda porfi c:
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
• El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta. A partir de ahora todas
las propiedades que se refieran a filas, son v´alidas para columnas.
• Si B se obtiene de A multiplicando una fila por λ, entonces det(B) = λ det(A). En general
det(λA) = λ
n det(A), siendo n el orden de la matriz A.
• Si la matriz B se obtiene intercambiando dos filas de A, entonces det(B) = − det(A).
• Si una matriz tiene dos filas iguales, entonces su determinante es nulo.
• El determinante de una matriz que tenga una de sus filas como suma de dos se puede
descomponer como suma de dos determinantes del modo siguiente:
det
a11 · · · a1n
· · · · · · · · ·
ai1 + bi1 · · · ain + bin
· · · · · · · · ·
an1 · · · ann
= det
a11 · · · a1n
· · · · · · · · ·
ai1 · · · ain
· · · · · · · · ·
an1 · · · ann
+ det
a11 · · · a1n
· · · · · · · · ·
bi1 · · · bin
· · · · · · · · ·
an1 · · · ann
.
No hay que confundir esta propiedad con la siguiente igualdad, que es falsa en general:
det(A + B) = det(A) + det(B).
• Si una matriz tiene una fila de ceros, entonces su determinante es nulo.
• Si B se obtiene de A sum´andole o rest´andole una fila de A un m´ultiplo de otra fila, entonces
det(A) = det(B).
• Si A es una matriz triangular entonces el determinante de A es el producto de los t´erminos
de su diagonal principal. En particular el determinante de I es 1.
• det(AB) = det(A) det(B).
2 Inversa de una matriz cuadrada
Motivaci´on: Para resolver ax = b, donde a, x, b ∈ IR y a 6= 0, despejamos x = a
−1
b, siendo a
−1
un n´umero tal que a
−1a = 1.
Ya que el producto de matrices no es conmutativo, hay que tener cuidado con la definici´on.
Decimos que una matriz A es invertible si existe otra matriz B tal que AB = BA = I. Observamos
que de la definici´on se deduce que s´olo las matrices cuadradas pueden ser invertibles (pero no todas
las matrices cuadradas son invertibles). Asimismo, se puede demostrar que la inversa de una
matriz invertible A es ´unica, esta matriz ´unica se denotar´a A−1
. Debido a la no conmutatividad
del producto, la divisi´on matricial no tiene sentido: ¿qu´e es A/B? ¿es B−1A ´o AB−1
?
NO USAR JAMAS´ A
−1 =
1
det(A)
Adj(A
t
),
siendo Adj(B) la matriz cuadrada del mismo orden que B cuyo elemento (i, j) es el determinante
de la submatriz que resulta de quitar la fila i y la columna j de B.
• Una matriz A es invertible si y s´olo si det(A) 6= 0.
• Si A y B son invertibles entonces (A−1
)
−1 = A.
• Si A y B son invertibles entonces AB es invertible y (AB)
−1 = B−1A−1
.
• Si A es invertible y λ 6= 0 entonces λA es invertible y (λA)
−1 = λ
−1A−1
.
• Si A es invertible, entonces At
es invertible y (At
)
−1 = (A−1
)
t
.