Respuestas
Respuesta:
El vector posicion de un movil es r(t)=2t³i+T²,en unidades si. calcula:a. la velocidad media entre los instantes t=0s y t=3s;b. la velocidad instantánea; t=0s y t=3; d la aceleracion instantanea; e. a velocidad y la aceleracion en el instante t=1s
Explicación:
El vector posición del móvil está dado por :
\vec{r}(t) = 2t^3i + t^2jr(t)=2t3i+t2j
A estas alturas deberías saber que la componente a la cual acompaña i es la que corresponde al eje x, así mismo , la componente j corresponde a la coordenada del eje y.
Comencemos :
a) Velocidad media entre t = 0s y t = 3s
Para esto, simplemente calculamos la posición entre ambos tiempos y dividimos esto entre el intervalo de tiempo, esto es, en 3s :
r(0) = (0,0)
r(3) = ( 2(3)³ , 3²) = (54,9)
Obs : r(t) = (a,b) equivale a r(t) = ai + bj , sólo es otra forma de escribirlo, recuerda que son vectores.
Calculamos la diferencia :
r(3) - r(0) = (54,9)
Dividimos por 3,
\boxed{\bar{v}_{0y3}= \frac{(54,9)}{3} = 18i + 3j }vˉ0y3=3(54,9)=18i+3j
b) Velocidad instantánea
La velocidad instantánea consiste en la derivada de la posición respecto al tiempo, entonces:
\frac{d\vec{r}}{dt}(t) = 6t^{2} \hat{\imath} + 2t\hat{\jmath}dtdr(t)=6t2^+2t^
Acá no hay diferencias de tiempos, es instantáneo, entonces hallamos los valores para los tiempos 0 y 3 :
\begin{gathered}\frac{d\vec{r}}{dt}(0) = (0,0) \\ \\ \frac{d\vec{r}}{dt}(3) = 6\cdot 3^{2} \hat{\imath} + 2\cdot 3\hat{\jmath} = (54,6)\end{gathered}dtdr(0)=(0,0)dtdr(3)=6⋅32^+2⋅3^=(54,6)
c) Aceleración instantánea
La aceleración instantánea corresponde a la segunda derivada de la posición respecto al tiempo, ó también a la derivada de la velocidad respecto al tiempo, como ya tenemos la primera derivada de la posición, derivamos nuevamente y obtenemos la aceleración :
\frac{d}{dt}( \frac{d\vec{r}}{dt}(t)) = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a} = 12t \hat{\imath} + 2\hat{\jmath}dtd(dtdr(t))=dt2d2r(t)=dtdv=a=12t^+2^
d) Aceleración y velocidad instantánea en tiempo t = 1 s
Ya tenemos las expresiones, sólo evaluamos con t=1 :
\begin{gathered}\vec{v}(t) = 6t^{2} \hat{\imath} + 2t\hat{\jmath} \\ \\ \boxed{\vec{v}(1) = 6\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}} \\ \\ \vec{a}(t) = 12t \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} \\ \\ \boxed{\vec{a}(1) = 12 \hat{\imath} + 2 \hat{\jmath}}\end{gathered}v(t)=6t2^+2t^v(1)=6^+2^a(t)=12t^+2^a(1)=12^+2^
Eso sería todo, cualquier duda la escribes en los comentarios,