Question

Por motivos de la Olimpiadas, Pedro está haciendo banderines rectangulares de 25 cm de largo y 18 cm de ancho, si luego decide hacer cambios a las dimensiones y aumenta al largo y disminuye al ancho la misma medida que aumentó al largo, se da cuenta que el área del banderín disminuyó 60 cm 2 ¿cuáles son las nuevas dimensiones del banderín? y ¿cuántos banderines podrá hacer si los hace de papel cometa cuyas dimensiones son 70 por 100 cm?

Answer 1

Respuesta:

Del enunciado deducimos la siguiente ecuación:

25·18 - (25 + x)(18 - x) = 60

=> 25·18 - (25·18 - 25x + 18x - x²) = 60

=> x² + 7x = 60

=> x² + 7x + (7/2)² = 60 + (7/2)²

=> (x + 7/2)² = 289/4

=> x + 7/2 = ±17/2

=> x = ±17/2 - 7/2

Nos quedamos con la solucion positiva

=> x = 5

Nuevas dimensiones:

Largo = 25 + 5 = 30 cm

Ancho = 18 - 5 = 13 cm

El número máximo de banderines que he podido distribuir en la hoja es 16. Para ello, con la hoja de 70 x 100 en posición apaisada, hacemos tres filas de tres rectángulos apaisados y una fila de 7 rectángulos en vertical. En total 9 + 7 = 16 rectángulos. En la imagen está la distribución.

PD: He encontrado la forma de meter 17 rectángulos, aunque tal vez no se espera que intentes meter el máximo número posible de rectángulos, sino simplemente que dividas las áreas. En ese caso:

70 x 100 / (30 x 13) = 17,95

=> Es posible meter 17 rectángulos como máximo atendiendo al área. He visto que también es posible distribuir los 17 rectángulos en la práctica, pero no necesariamente tiene que ser posible.

Answer 2

Los banderines tienen dimensiones de 30cmx13cm. Del papel cometa se pueden hacer 15 banderines.

Explicación paso a paso:

Si los banderines tenían 18cm por 25cm tenemos que el área era:

$A=18cm.25cm=450cm^2$

Como el área luego de cambiar las dimensiones bajó 60 centímetros cuadrados tenemos que la nueva área es 450-60=390. El largo aumenta en 'a' y el ancho también disminuye en 'a' con lo que queda:

$A=(18-a)(25+a)=390\\\\450+18a-25a-a^2=390\\\\60-7a-a^2=0$

Con estos datos resolvemos la ecuación cuadrática:

$a=\frac{7\ñ\sqrt{(-7)^2-4(-1).60}}{2(-1)}\\\\a=\frac{7\ñ17}{-2}\\\\a=-12; a=5$

Nos quedamos con a=5 ya que al ser positiva es la que tiene sentido físico, ahora el ancho del banderín es 18-5=13 y el largo es 25+5=30.

Si Pedro tiene un papel cometa cuyas dimensiones son 100x70cm, podemos suponer que primero la va a cortar en rectángulos de 30x70 por el lado de 100cm:

$\frac{100}{30}=3,33$

Va a tener 3 rectángulos de 30x70cm que ahora los tiene que cortar en rectángulos de 30x13cm. Los va a cortar por el lado de 70cm por lo que queda:

$\frac{70}{13}=5,38$

Por lo que obtendrá 5 banderines de cada uno de los 3 rectángulos que cortó primero. Así que Pedro puede hacer 3x5=15 banderines.