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Explicación paso a paso:
Adición de polinomios
Adición de polinomiosSean los polinomios
p(x) = 3x2 + 5x3 +6 yq(x)= 8x2 -3x3 +1
La adición indicada es: p(x) +q(x) = 3x2 + 5x3 +6 + 8x2 -3x3 +1
El resultado se obtiene mediante el siguiente proceso:
Escribimos los polinomios de tal forma que sus monomios semejantes queden en columna.
Sumamos los monomios semejantes que haya. Observamos que la suma de dos polinomios es otro polinomio. Así que:
p(x) + q(x) = h(x) = 11x2 + 2x3 +7
Hallemos la adición de los siguientes polinomios:
m(x) = 12x4 -16x3 + 5x +7 y s(x) = 2x3 +5x2 -1
La adición indicada es:
m(x) +s(x) = 12x4 -16x3 + 5x +7 + 2x3 +5x2 -1= t(x)
escribimos los polinomios de tal manera que sus monomios semejantes queden en columna.
Sumamos los monomios semejantes.
Luego m(x) + s(x) =12x4-14x3 + 5x + 6 +5x2 = t(x)
Es conveniente ordenar el polinomio resultante:
12x4 -14x3 + 5x + 6 +5x2 = 12x4 -14x3 + 5x2 + 5x + 6 = t(x)
Diferencia de polinomios
Diferencia de polinomiosConsideremos los polinomios reales:
f(x) = 6x2 -3x +2 y
g(x)=5x2 +2x -1
Su diferencia indicada es: f(x)-g(x)=6x2 -3x +2 -(5x2 +2x -1)
Al suprimir el paréntesis del polinomio f(x) -g(x) resulta:
6x2 -3x +2 -(5x2 +2x -1) = 6x2 -3x +2 -5x2 -2x +1
Ahora sumamos los monomios semejantes:
El resultado es otro polinomio: h(x) = x2 -5x +3
Luego f(x) -g(x) = h(x) = x2 -5x +3
Observemos que los signos de los términos del polinomio g(x) cambiaron por sus opuestos aditivos. Diremos que para hallar la diferencia de dos polinomios, se cambian los signos del polinomio sustraendo y luego se adicionan los polinomios.
Multiplicación de dos monomios
Sean los monomios
p(x) =3x2 y
q(x) =2x
El valor numérico de 3x2 para x = 2 es: 3.22= 12
El valor numérico de 2x para x = 2 es: 2. 2 = 4
El producto indicado de p(x) y q(x) es: 3x2 . 2x =h(x)
El producto de los valores numéricos de p(x) y q(x) para x =2, es:
12 X 4 = 48
Consideremos el monomio 6x3. Observemos que su coeficiente (6) es el producto de los coeficientes (3 y 2) de los monomios p(x) y q(x) y su exponente (3) es la suma de los exponentes (2 y 1) de los monomios p(x) y q(x). El valor numérico del monomio 6x3 para x = 2 es: 6. 23=48, que es igual al valor numérico del monomio h(x). Luego:
p(x) . q(x) = h(x) =3x2. 2x =6x3
Entonces, el producto de dos monomios (semejantes o no) es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios que se multiplican y cuya parte literal tiene por exponente la suma de los respectivos exponentes de las indeterminadas de los monomios que se multiplican.
Ejemplos:
a) 6x4. 3x2 = (6 . 3) x4 + 2 = 18x6
b) 2x2y . 3X4y2= (2 . 3) x2+4 y 1+2 = 6x6 y3
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Consideremos el monomio f(x) =5x4 y el polinomio g(x) =6x2 -3x +6
Su producto indicado es: f(x). g(x) = 5x4. (6x2 -3x +6 )
Diremos que para multiplicar un monomio real por un polinomio real, multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (por propiedad distributiva de . respecto de + en ℜ) y finalmente sumamos los términos semejantes, que resulten, así:
5x4. (6x2 -3x +6 ) = (5x4 . 6x2) -(5x4. 3x) + (5x4 . 6) = 30x6 -15x5 + 30x4
Observamos que el resultado es un polinomio, así que:
f(x) .g(x) = h(x) = 5x4. (6x2 -3x +6 ) = 30x6 -15x5 + 30x4
Multiplicación de dos polinomios
Diremos ahora que para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio, luego se suman los monomios semejantes que resulten.
Ejemplo:
m(x) = -12x3 + 5x4 +x y
s(x) = 2x2 + 3x -2,
entonces:
m(x).s(x) =(-12x3+5x4+x) . (2x2 +3x -2)
= -12x3. 2x2 -12x3 .3x +12x3 .2 +5x4. 2x2 +5x4. 3x -5x4.2 +x. 2x2 +x.3x -x.2
=-24x5 -36x4 +24x3 +10x6 +15x5 -10x4 + 2x3 + 3x2 -2x
=10x6 -9x5 -46x4 +26x3 +3x2 -2x,
este es el resultado final, después de sumar los monomios semejantes y ordenar el polinomio.
Potencia de un monomio
Recordemos que elevar un número real x a un exponente n ∈ ℜ es multiplicar a x, n veces por sí mismo. Es decir, xn = x .x .x ... x, n veces. Ejemplo = 63 = 6.6.6 = 216.
Si consideramos el monomio real f(x) = 3x2, su cuadrado será:
[f(x)]2 = (3x2)2 = (3x2) . (3x2) = 9x4.
De manera que para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente a la potencia indicada y cada exponente de la parte literal se multiplica por el exponente de la potencia.
Ejemplos:
g(x) = 5x3, entonces
[g(x)]2 = (5X3)2 = 52 x 3.2 = 25x6
f(x,y) = - 2xy2 entonces
[f(x, y)]4 = (-2xy2)4
= - 24x4 y2.4
= 16x4y8