Question

¿Cuántos enteros positivos cumplen con ser iguales a 3 veces la suma de sus dígitos?

Answer 1

Razonamos de la siguiente forma:

1) Solamente podemos encontrar la respuesta en números de dos dígitos. Porque para tres dígitos le máximo que pueden sumar es 9+9+9=27. Su triple es 81 y ese número solo tiene dos dígitos. Es decir, no podremos encontrar ningún número de tres dígitos en el que el triple de la suma de la suma de ellos resulte en un número de tres dígitos. El mismo razonamiento aplica para números de más dígitos.

2) En los números de dos dígitos,puede plantearse una ecuación algebraica.

Si el numero está formado por los dígitos XY, en ese orden. El número es 10X+Y.  

La suma de los dígitos es X+Y.

La ecuación dada por el enunciado es:

10X+Y=3(X+Y)

Su solución lleva a:

10X+Y=3X+3Y

10X-3X=3Y-Y

7X=2Y

Y=(7X)/2

Si das valores a X puedes encontrar los valores de Y que cumplen esa igualdad

Para X=1; Y = 7/2: no te sirve porque es una fracción.
Para X=2; Y=14/2=7; y el número será 27 (fíjate que 2+7=9 y 3*9=27). Esa es el único número entero positivo que cumple la condición.

Por ejemplo, para X=4, Y=4*7/2=14 y no es un dígito.
A medida que incrementes el valor de Yobtendrás un número que excede de un dígito.

Por tanto, la respuesta es que hay un solo número entero positivo que satisface la condición, y ese número es 27.