Question

El aguilón AB esta soportado por el cable BC y una bisagra colocada en

A. Si el aguilón ejerce sobre el punto B una fuerza dirigida a lo largo de sí mismo y la

tensión en la cuerda BD es de 310 N, determine a) el valor de



para el que la tensión

en el cable es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.​

Answer 1

La fuerza mínima para el aguilón la tenemos con $\alpha=60\°$ y esta es de 358N.

Explicación:

Empezamos planteando el diagrama de cuerpo libre donde T2 es la fuerza del cable que sostiene al aguilón y T1 la fuerza que ejerce el operario. Como el aguilón ejerce una fuerza sobre sí mismo, la dirección de esta es 30° respecto de la horizontal.

a) Las componentes de la fuerza A son entonces:

$A.cos(30\°)=T_2.cos(\beta)-T_1.sen(30\°)\\\\A.sen(30\°)=T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\beta)$

A su vez para representarla en función del ángulo $\alpha$ queda:

$A.cos(30\°)=T_2.cos(\alpha-30)-T_1.sen(30\°)\\\\A.sen(30\°)=T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\alpha-30)$

En la segunda ecuación despejo A y la sustituyo en la primera:

$A=\frac{T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\alpha-30)}{sen(30\°)}\\\\\frac{T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\alpha-30)}{sen(30\°)}.cos(30\°)=T_2.cos(\alpha-30)-T_1.sen(30\°)\\\\\frac{T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\alpha-30)}{tan(30\°)}=T_2.cos(\alpha-30)-T_1.sen(30\°)$

Y despejamos T2 que es la fuerza que queremos minimizar:

$T_1.cos(30\°)-T_2.sen(\alpha-30)=(T_2.cos(\alpha-30)-T_1.sen(30\°)).tan(30\°)\\\\T_2.cos(\alpha-30).tan(30\°)+T_2.sen(\alpha-30)=T_1.cos(30\°)-T_1.sen(30\°).tan(30\°)\\\\T_2.sen(30\°)+T_2.sen(\alpha-30)=T_1.cos(30\°)-T_1.sen(30\°).tan(30\°)\\\\T_2=\frac{T_1.cos(30\°)-T_1.sen(30\°).tan(30\°)}{sen(30\°)+sen(\alpha-30)}$

Ahora para hallar la fuerza mínima debemos derivar e igualar a 0:

$T_2=\frac{T_1.cos(30\°)-T_1.sen(30\°).tan(30\°)}{sen(30\°)+sen(\alpha-30)}\\\\\frac{dT_2}{d\alpha}=\frac{T_1.cos(30\°)-T_1.sen(30\°).tan(30\°)}{(sen(30\°)+sen(\alpha-30))^2}.cos(\alpha-30\°)=0\\\\cos(\alpha-30)=0\\\\\alpha-30=90\°\\\\\alpha=60\°$

b) Si es $\alpha=60\°$ podemos construir la suma vectorial T1+T2=A y aplicar el teorema del seno para hallar T2:

$\frac{T_2}{sen(90\°)}=\frac{T_1}{sen(60\°)}$

$T_2=\frac{T_1}{sen(60\°)}.sen(90\°)=\frac{310N}{sen(60\°)}.sen(90\°)\\\\T_2=358N$