Question

Condiciones analíticas para que una recta sea paralela, perpendicular y oblicua  

Answer 1

Se entiende que estás en el plano y que tienes que tener 2 rectas, de ecuaciones:
$r\equiv a_1x+a_2y+a_3=0; s\equiv b_1x+b_2y+b_3=0$.
Para que sean paralelas, sus pendientes tienen que ser iguales, y la pendiente en la recta 1 es (despejando y, el coeficiente de x):
$a_1x+a_2y+a_3=0\to a_2y=-a_1x-a_3\to y=\frac{-a_1}{a_2}x-\frac{a_3}{a_2}$
Con lo cual, $m=\frac{-a_1}{a_2}$. Análogamente, la pendiente de la recta $s$ es $m=\frac{-b_1}{b_2}$.
Luego la condición analítica es:
$\frac{-a_1}{a_2}=\frac{-b_1}{b_2}\to r\;\| \:s$
Para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes ha de ser -1:
$\frac{-a_1}{a_2}\cdot \frac{-b_1}{b_2}=-1\to r\; \perp \:s$
En cualquier otro caso, son oblicuas.
_________
De otra forma:
si $m_r$ y $m_s$ son las pendientes de las dos rectas,
a) r y s son paralelas si $m_r=m_s$
b) r y s son perpendiculares si $m_r\cdot m_s=-1$
c) r y s son oblicuas si las relaciones entre sus pendientes no son ninguna de las anteriores.