Question

Ayuda por favor
hallar los ángulos interiores, el perímetro, así como su grafica del siguiente triángulo
A (9,-1); B (7,3) y C (7,0)

Answer 1

Los ángulos interiores del triángulo son:  α = 36,87°, β = 26,56°, γ = 116,57°. El perímetro del triángulo es de 9,71 unidades

Procedimiento:

Hallando el perímetro

Dado que el polígono, que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder hallar su perímetro debemos determinar el valor de sus lados

Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$                  

Longitud del lado AB

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{(7 - 9 )^{2} +(3 -(-1) )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{(-2) ^{2} + \ 4^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{4 + \ 16 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{20 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = 4,47 \ unidades } } }$

Longitud del lado BC

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{(7 - 7 )^{2} +(0 - 3)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{ 0 ^{2} + \ (-3)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{0 + \ 9 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{9 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = 3\ unidades } } }$

Longitud del lado CA

$\boxed{ \bold { Distancia \ CA = \sqrt{2 ^{2} + \ (-1)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CA = \sqrt{4 + \ 1 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CA = \sqrt{5} } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CA = 2,24\ unidades } } }$

Ya conocemos los valores de los tres lados del triángulo

El perímetro de una figura se halla a partir de la suma de todos sus lados

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = AB + BC + CA}}$

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = 4,47 + 3 + 2,24}}$

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Tri\'angulo \ ABC = 9,71 \ unidades }}$

   

Hallando el valor de los ángulos internos del triángulo

Donde emplearemos la fórmula

$\boxed{\bold {m = \frac{ m_{1} -m_{2} }{1+ m_{1} \ m_{2} } }}$

Para poder hallar sus ángulos interiores debemos determinar primero la pendiente de los lados

La pendiente esta dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

La pendiente está dada por

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Pendiente del lado AB

$\boxed{\bold {m \ lado \ AB = \frac{ 3 - (-1) }{ 7 -9 } }}$

$\boxed{\bold {m\ lado \ AB = \frac{ 4 } { -2 } }}$

$\boxed{\bold {m \ lado \ AB =- \frac{ 4 } { 2 } }}$

$\boxed{\bold {m \ lado \ AB =- 2 } }}$

Pendiente del lado BC

$\boxed{\bold {m \ lado \ BC = \frac{ 0 - 3 }{ 7 -7 } }}$

$\boxed{\bold {m\ lado \ BC =- \frac{ 3 } { 0 } }}$

Al dividir entre 0 no se puede determinar el valor de la pendiente

Donde al ser el lado BC paralelo al eje y la pendiente es infinita

Pendiente del lado CA

$\boxed{\bold {m \ lado \ CA = \frac{ -1 - (0) }{ 9 -7 } }}$

$\boxed{\bold {m\ lado \ CA =- \frac{ 1 } { 2 } }}$

$\boxed{\bold {m\ lado \ CA =- 0,5 }}$

Sólo pudimos hallar 2 pendientes

$\boxed{\bold {m \ lado \ AB =- 2 } }}$

$\boxed{\bold {m\ lado \ CA =- 0,5 }}$

Aplicaremos la fórmula para hallar el ángulo

$\boxed{\bold {m = \frac{ m_{1} -m_{2} }{1+ m_{1} \ m_{2} } }}$

La pendiente se puede calcular hallando la tangente del ángulo

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = \frac{ m_{1} -m_{2} }{1+ m_{1} \ m_{2} } }}$

Hallando el ángulo α

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = \frac{ m_{AB} -m_{CA} }{1+ m_{AB} \ m_{CA} } }}$

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = \frac{ -2 - (-0,5) }{1+ (-2) \ (-0,5) } }}$

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = \frac{ -2 +0,5 }{1 +1 } }}$

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = \frac{ -1,5 }{2 } }}$

$\boxed{\bold {tan\ \alpha = -0,75 } }}$

$\boxed{\bold {\alpha= arctan (-0,5 )}}$

$\boxed{\bold {\alpha= -36,87\° }}$

$\boxed{\bold {\alpha= 36,87\° }}$

Como no se pudo determinar el valor de una pendiente, y ahora conocemos el valor de un ángulo y los lados del triángulo, aplicaremos la ley del seno

Hallando el ángulo β

$\boxed{ \bold { \frac{3}{sen(36,87\° )} = \frac{ \sqrt{5} }{sen (\beta) } }}$

$\boxed{ \bold { sen (\beta)= \frac{ \sqrt{5} \ .\ sen(36,87\° ) }{3} }}}$

$\boxed{ \bold { sen (\beta)= \frac{ 1,3416439821376 }{3} }}}$

$\boxed{ \bold { sen (\beta)= 0,4472146607125 }}}$

$\boxed{\bold {\beta = arcsen ( 0,4472146607125)}}$

$\boxed{\bold {\beta = 26,56\° }}$

Hallando el ángulo γ

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { \gamma = 180\° - \alpha - \beta }}$

$\boxed {\bold { \gamma = 180\° - 36,87\° - 26,56\°}}$

$\boxed {\bold { \gamma = 116,57\° }}$