Question

Dos embarcaciones salen de un puerto al mismo

tiempo. La primera navega a 60 km/h con un ángulo de 35° con respecto del puerto, mientras que

la segunda lo hace a 70 km/h con un ángulo de

125°, como se muestra en la figura. Calcula la distancia entre las embarcaciones después de 3 horas.

Answer 1

Al cabo de 3 horas de navegación las embarcaciones estarán distanciadas aproximadamente 276,60 kilómetros

Procedimiento:

Nos dicen que dos embarcaciones salen de un puerto al mismo tiempo, navegando cada una de ellas a distintas velocidades.

Y se pide calcular la distancia de las dos naves después de 3 horas de navegación

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué trata el teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución:

Si se observa la figura con atención vemos que desde el puerto que parten las naves se forma un ángulo de 90°. Por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo

En donde la trayectoria de una embarcación conforma un cateto, y el rumbo que toma la segunda embarcación forma el otro cateto, y en donde la distancia PQ que es la distancia que separa a las naves luego de 3 horas de navegación es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Donde

Antes de emplear el teorema de Pitágoras debemos hallar para ambas embarcaciones a que distancia se encuentran al cabo de 3 horas de navegación desde el puerto que partieron

Esas distancias son para la primera nave la trayectoria desde el puerto al punto P y para la segunda nave la trayectoria desde el puerto al punto Q

Siendo a la vez ambas magnitudes los dos catetos del triángulo rectángulo

¿Cómo hallamos la posición de las naves después de 3 horas de navegación?

Empleando la fórmula de MRU:

$\boxed { \bold{ Distancia = Velocidad \ . \ Tiempo}}$

Para la primera embarcación

$\boxed { \bold{ Distancia = 60 \ km/h \ . \ 3 \ horas = 180 \ km}}$

La primera nave se encontrará en el punto P a 180 km del puerto

Para la segunda embarcación

$\boxed { \bold{ Distancia = 70 \ km/h \ . \ 3 \ horas = 210 \ km}}$

La segunda nave se encontrará en el punto Q a 210 km del puerto

Donde conocemos ahora el valor de los catetos, siendo el cateto a de 180 y el cateto b de 210

Pudiendo calcular la distancia entre las dos embarcaciones después de 3 horas de navegación

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Quitamos las unidades para facilitar la resolución

$\boxed {\bold { c^{2} = 180^{2} \ + \ 210^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 32400 \ + \ 44100 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 76500 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{76500} }}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{76500} }}$

$\boxed {\bold { c \approx 276,586 \ kil\'ometros }}$

$\boxed {\bold { c \approx 276,60 \ kil\'ometros }}$

Las dos naves estarán separadas aproximadamente 276,60 kilómetros