Question

Estructuras algebraicas:

A) Hacer un mapa mental involucrando las siguientes estructuras algebraicas que estamos estudiando: grupo, grupo conmutativo, anillo, dominio de integridad y cuerpo. El mapa mental, además de las estructuras, debe contener todas las propiedades que caracterizan a cada una de estas estructuras. Te sugerimos usar un sitio para que puedas hacer tu mapa mental, pero si quieres usar un programa, no hay problema. ¡Da rienda suelta a tu creatividad y crea un mapa mental con mucho contenido y muy bonito!

B) Usa el mapa que construiste en la letra a) para ayudarte a verificar el conjunto Q [√11] = {a + b√11: a, b∈Q} equipado con las operaciones habituales de sumar y multiplicar números reales:

* Compruebe que este conjunto está cerrado para las operaciones habituales de suma y multiplicación, es decir, si x, y∈Q [√11] entonces x + y∈Q [√11] y x.y∈Q [√11].

* Compruebe que (Q [√11], +) sea un grupo conmutativo.

* Compruebe que (Q [√11]*,.) Es un grupo conmutativo, donde
Q [√11]* = Q [√11] - {0}.

* Utilizando los elementos 1, 2 y 3 y demostrando las propiedades que faltan, concluye que (Q [√11], +,.) Es un cuerpo.

Answer 1

A) Realmente te debo un mapa mental. pero puedes guiarte por la tabla que te adjunto... para mi clasifica como uno

* Compruebe que este conjunto está cerrado para las operaciones habituales de suma y multiplicación, es decir, si x, y∈Q [√11] entonces x + y∈Q [√11] y x.y∈Q [√11].

A simple vista se ve que es cerrado para ambas operaciones, pero vamos a comprobarlo.

CERRADURA DE LA SUMA:

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11  y   y = c+ d√11 donde a,b,c,d ∈Q, demostremos que x+y ∈ Q[√11]:

x + y =  a+b√11 + c+ d√11 = (a+c) + (b+d)√11

La suma de dos números racionales es también racional, por lo que a+c ∈ Q y  b+d∈Q. Concluimos entonces que x+y ∈Q[√11] y Q[√11] es cerrado para la suma.

CERRADURA DEL PRODUCTO:

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11  y   y = c+ d√11 donde a,b,c,d ∈Q, demostremos que x*y ∈ Q[√11]:

x*y =  (a+b√11) (c+ d√11)

x*y = ac + ad√11 + bc√11 + 11bd

x*y = (ac + 11bd) + (ad+bc)√11

El producto de dos números racionales es también racional, por lo que ac + 11bd ∈ Q y  ad+bc∈Q. Concluimos entonces que x*y ∈Q[√11] y Q[√11] es cerrado para el producto.

* Compruebe que (Q [√11], +) sea un grupo conmutativo.

Para que sea un grupo conmutativo en la suma, debe n cumplirse las cuatro propiedades de un grupo conmutativo para la suma. Estas son: conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro y existencia del elemento opuesto. Comprobemos cada una:

CONMUTATIVIDAD

Es obvio que la suma será conmutativa en Q [√11] porque lo es en R. Pero podemos checarlo como:

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11  y   y = c+ d√11 donde a,b,c,d ∈Q,

x + y = a+b√11 + c+ d√11 = (a+c) + (b+d)√11 = (c+a) + (d+b)√11 = y+x

ASOCIATIVIDAD

También es obvio que la suma es asociativa en Q [√11] porque lo es en R. Podemos checarlo como:

Sea x,y,z ∈ Q[√11] donde x = a+b√11 , y = c+ d√11  y  z = e+f√11 donde a,b,c,d,e,f∈Q,

x + (y + z ) = (x + y) + z

a+b√11 + (c+ d√11 +e+f√11 ) = (a+b√11 +c+ d√11) +e+f√11

a+c+e + (b+d+f)√11 = a+c+e + (b+d+f)√11

Existencia del elemento neutro:

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11 y sean a=0 y b=0... Entonces:

x = 0 + 0√11 = 0  y sabemos que x∈Q[√11] por lo que existe el elemento neutro en Q[√11].

Existencia del elemento opuesto:

Sea x ∈ Q[√11] donde x = a+b√11, sabemos que -x =  -a-b√11 ∈ Q[√11] , y se cumple que:

x + (-x) = a+b√11-a-b√11 = 0

Por tanto para cualquier x en Q podemos encontrar un opuesto, tal que la suma de ambos sea 0.

Como se cumple la asociatividad, la conmutatividad,la existencia del neutro y la existencia del elemento opuesto, entonces  (Q [√11], +) es un grupo conmutativo.

* Compruebe que (Q [√11]*,.) Es un grupo conmutativo, donde

Q [√11]* = Q [√11] - {0}.

CONMUTATIVIDAD

Es obvio que el producto será conmutativo en Q [√11] porque lo es en R. Pero podemos checarlo como:

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11  y   y = c+ d√11 donde a,b,c,d ∈Q,

x*y =(a+b√11) (c+ d√11) =(c+ d√11) (a+b√11) = y*x

ASOCIATIVIDAD

También es obvio que el producto es asociativo en Q [√11] porque lo es en R. Podemos checarlo como:

Sea x,y,z ∈ Q[√11] donde x = a+b√11 , y = c+ d√11  y  z = e+f√11 donde a,b,c,d,e,f∈Q,

x *[y*z] = [x*y]*z

(a+b√11)[(c+ d√11) (e+f√11)] =[(a+b√11)(c+ d√11)] (e+f√11)

(a+b√11)(c+ d√11) (e+f√11) = (a+b√11)(c+ d√11)(e+f√11)

Existencia del elemento neutro multiplicativo

Sea x,y ∈ Q[√11] donde x = a+b√11 y sean a=1 y b=0... Entonces:

x = 1 + 0√11 = 1  y sabemos que x∈Q[√11] por lo que existe el elemento neutro multiplicativo en Q[√11]. Es obvio que cualquier y multiplicado por x siempre será y en Q[√11].

Existencia del elemento opuesto multiplicativo

Sea x,y ∈ Q[√11]-{0} donde x = a+b√11 podemos encontrar un número y de la forma:

$y = \dfrac{1}{a+b\sqrt{11} }$

Veamos si y pertenece a  Q[√11]-{0}, para ello racionalicemos:

$y = \dfrac{1}{a+b\sqrt{11} }\cdot \dfrac{a-b\sqrt{11}}{a-b\sqrt{11}}\\\\y = \dfrac{a-b\sqrt{11} }{a^2-11b^2}\\\\y= \dfrac{a }{a^2-11b^2} - \dfrac{b\sqrt{11} }{a^2-11b^2}\\\\\dfrac{a }{a^2-11b^2}, \dfrac{b }{a^2-11b^2} \in Q$

Luego para cualquier x ∈ Q[√11]-{0} existe un elemento inverso multiplicativo y tal que x*y = 1.

Como cumple ASOCIATIVIDAD, CONMUTATIVIDAD, Existencia del elemento opuesto multiplicativo y Existencia del elemento neutro multiplicativo entonces (Q [√11]*,.)  es un grupo multiplicativo.

* Utilizando los elementos 1, 2 y 3 y demostrando las propiedades que faltan, concluye que (Q [√11], +,.) Es un cuerpo.

Solo nos falta una por demostrar:

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Sea x,y,z ∈ Q[√11] donde x = a+b√11 , y = c+ d√11  y  z = e+f√11 donde a,b,c,d,e,f∈Q,  debe cumplirse x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

Como la suma y el producto son distributivos y asociativos en R, también lo seran para Q[√11]. Puede verificarse:

x · (y + z)

= (a+b√11)[(c+ d√11) + (e+f√11)]

= (a+b√11)(c+ d√11) + (a+b√11)(e+f√11)

=  (x · y) + (x · z).

Finalmente... concluimos que (Q [√11], +,.) es un cuerpo.