Question

a)¿qué medidas puede tener una caja con forma de paralelepípedo para que tenga un litro de volumen?
b)¿cómo del determinarías las medidas para esa caja?
c)¿cómo podrías justificar que la superficie de tu caja es la de menor área y qué encierra un litro de volumen?​

Answer 1

a) Existen distintos juegos de valores que pueden tomar las dimensiones para que el volumen sea 1 litro.

b) Las medidas se pueden determinar adoptando un criterio para la caja, ya sea su forma o algunas de sus dimensiones. En nuestro caso adoptamos que es cúbica.

c) Mediante formalismo matemático se puede determinar que la caja de menor área superficial para un mismo volumen es la cúbica.

Explicación paso a paso:

Un litro es equivalente a 0,001 metros cúbicos. Por lo que sobre la caja tenemos:

a) El volumen de un paralelepípedo viene dado por la expresión:

V=a.h.b

Donde a y b son los lados de la base y h la altura de la caja. La ecuación que nos daría las medidas es:

$0,001m^3=a.h.b$

Hay 3 incógnitas por lo que no se puede decir qué dimensiones puede tener la caja solo con el dato del volumen. Una de las posibilidades es 0,1mx0,1mx0,1m.

b) Entonces se necesitan especificaciones de ancho, largo o altura que debe tener la caja para poder determinar las dimensiones, si no existen dichas especificaciones se puede adoptar que la caja es cúbica por lo que será:

$a=b=h=>V=a.h.b=a^3=0,001m^3\\\\a=\sqrt[3]{0,001m^3}=0,1m$

Y así llegamos a las medidas que adoptamos en (a).

c) El área superficial de la caja es:

$A=2ab+2ah+2bh$

Mientras que el volumen es:

$V=ahb$

Si la caja es cúbica su área será:

$A=6a^2$

Si las medidas son distintas entre sí tenemos para el área y el volumen:

$a=ac\\h=ad\\\\V=a^3cd\\\\A=a^2c+a^2d+a^2cd$

Derivamos respecto de c y de d e igualamos a 0 para obtener un máximo:

$\frac{dA}{dc}=a^2+a^2d=0\\\\\frac{dA}{dd}=a^2+a^2c=0\\\\d=c=-1$

Entonces queda demostrado que la mínima área superficial para una caja la tenemos cuando es k=m=1, o sea la caja es cúbica.

Answer 2

El volumen de un paralelepipedo se calcula multiplicando el área de una cara por la altura respectiva y es mínima si resolvemos el problema de minimización

Un paralelepípedo es una figura geométrica compuesta por 6 paralelogramos los cuales son iguales y paralelos los que son opuestos, el v volumen se calcula multiplicando el área de una de sus caras por la altura con respecto a esa cara, entonces para que tenga un litro de volumen debemos verificar que este producto sea un litro

Las medidas de la caja se obtiene calculando el alto, ancho y largo

Para obtener la caja con menor Area cuyo volumen sea un litro se debe miniminar el área sujeto a que el volumen es un litro

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