Question

El cálculo diferencial e integral juega un papel importante en diversas áreas, como biología, economía, ingeniería, entre otras. El estudio del cálculo de funciones de una variable, en general, comienza con funciones y procede en límites, derivadas e integrales. Entre estos temas podemos mencionar la derivada. Una aplicación interesante de la derivada es el análisis de tendencias de la función, el resultado de esta derivada está ligado a la pendiente de la recta "tangente al punto". Esto nos permite analizar y maximizar / minimizar problemas. Para nuestro ejercicio proponemos la siguiente situación:

Martin es residente de una región de Brasil. En su propiedad, la casa donde vive está a orillas de un río. Por razones logísticas, en el interior de la propiedad se pretende construir un hórreo rectangular con 80 metros de perímetro. Este granero debe estar en la orilla opuesta, 2000 metros río abajo (considere la línea recta).

a) Determine las dimensiones del granero para que su área sea máxima.

b) Martin dispone de todos los materiales para la construcción de un galpón de superficie máxima, excepto los ladrillos de 6 agujeros, que pretendes utilizar. En promedio, por cada metro cuadrado de muro cerrado se utilizan 35 unidades de ladrillo. Determina la cantidad aproximada de ladrillos que usará para cerrar las paredes del granero. Un dato importante es que los muros serán de 4 metros de altura, el hórreo tendrá una ventana rectangular de 2 m por 1,5 my una puerta, también rectangular, de 4 m por 2,5 m. (Ignore las columnas y todo el hormigón utilizado)

c) Hacer un presupuesto para saber el monto que gastará Martin con estos ladrillos (puede ser a través de internet o tienda física). Se recomienda comprar un 10% más de material por pérdidas.

d) Silvan, único albañil de la región donde vive Martin, cobra R$ 150,00 por metro cuadrado de mano de obra para la construcción del hórreo. ¿Cómo construirá el granero con el área máxima, cuál será el valor de la mano de obra si contrata Silvan?

e) Martin llevará la electricidad al granero. Tiene la intención de extender un cable de alimentación desde la casa hasta el granero, en la orilla del río, que tiene 40 metros de ancho. El cable, en algún momento, debe cruzar el río, suspendido por postes de madera, que tiene abundantemente en la propiedad. El electricista cobra un 10% más de mano de obra para “tender” el cable sobre el río, considerando el precio que cobra por la tierra. Si el electricista cobra R $ 10,00 por metro por mano de obra en tierra, determine el costo mínimo que puede tener el Martin para llevar la energía de su casa al granero. Para hacer esto, haga un presupuesto en el modelo del ítem (c). Utilizará cableado flexible de 10 mm *. Ignore las pérdidas en este caso. (* En términos de potencia, este cable no se recomienda para este servicio, pero como es fácil de encontrar, lo usamos para el ejercicio).

Answer 1

Los términos del problema me son algo confuso. No se exactamente que es "hórreo" , o "galpón" pero supondré que son sinónimos de granero.

a) Veamos. Tenemos que terreno tiene forma rectangular, donde llamaremos:

• x -- Ancho
• y -- Largo

Se sabe que el perímetro: P = 2x + 2y = 80  →  y = 40-x

Sabemos que el Área de un rectángulo es:

A = x*y = x(40-x) = 40x - x²

Para obtener el cuando el área es máxima tenemos dos opciones, o hallar el vértice de la parábola o usar derivadas sabiendo que el máximo ocurre cuando A'(x) = 0. Debido al enunciado usaremos derivadas:

$\dfrac{dA}{dx} = 40-2x = 0$

2x = 40

x = 20 m

El área será máxima cuando el ancho es 20 m. Calculemos el largo:

2(20) + 2y = 80

2y = 40

y = 20 m

Vemos que el área es máxima cuando el terreno es un cuadrado de dimensiones 20x20 metros.

b) Llamaremos:

• Ap al área de la puerta
• Av al área de la ventana
• A al área total de los 4 muros sin puertas ni ventanas.

El Área total (At) de m² de muro a construir será:

At = A - Av - Ap

At = 4(20x4) - 2*1.5 - 2.5*4

At = 307 m²

Si cada m² se construye con 35 ladrillos entonces la cantidad de ladrillos necesarios será:

Ladrillos = 307 * 35 = 10745 ladrillos

c) Realmente no estoy muy seguro de los precios de los ladrillos en brasil... Intenté buscarlos pero no sé portugués... :( así que asumiré que cada ladrillo de 6 agujero cuesta p= R$0.5.

Debemos comprar un 10% más de ladrillos, por tanto necesitamos un 110% del total de ladrillos. Esto es:

$\dfrac{110}{100}\cdot10745 = 11819.5\approx11820\;\textbf{ladrillos}$

Para calcular el presupuesto de Martin en ladrillos simplemente multiplicamos esta cantidad de ladrillos por el precio unitario de ladrillos:

11820*0.5 = $5910 Reales

d) Este inciso me resulta algo confuso. Te explico por qué.

Si Silvan solo tiene que levantar los muros, entonces el precio de la mano de obra simplemente será:

307 m² * R$150 = R$46050

En cambio si Silvan levanta los muros , pone el piso, cobra además por el metro cuadrado de puertas y ventanas pues el precio a pagar es:

150 *(A + Agranero)

150* (4(20x4) + 20*20)

= 108000 Reales (y acá ni siquiera incluyo el techo que podría tener cualquier forma)

Todo depende del precio de los servicios de Silvan. Ya te digo, es algo confuso.

e) Veamos el esquema de la situación en la figura:

• Metro de mano de obra en tierra -- $10
• Metro de mano de obra sobre el agua --$10*110/100 = $11
• Distancia sobre tierra --- 2000 - x
• Distancia sobre agua ---- $\sqrt{40^2+x^2}$

El costo entonces será:

$C(x) = 10(2000-x)+11\sqrt{40^2+x^2}\\\\ C'(x) = \dfrac{11x}{\sqrt{1600+x^2}}-10$

El mínimo ocurre para C'(x) = 0:

$\dfrac{11x}{\sqrt{1600+x^2}}-10 = 0\\\\11x = 10\sqrt{1600+x^2}\\\\(11x)^2=100(1600+x^2)\\\\121x^2 = 160000+100x^2\\\\21x^2 = 160000\\\\x = \sqrt{\dfrac{160000}{21}}\\\\x\approx 87.3\;m$

El costo mínimo será C(87.3):

$C(87.3) = 10(2000-87.3)+11\sqrt{40^2+87.3^2}\\\\C(87.3) = 20183.3\;Reales$

Luego necesitaremos:

• 2000 - 87.3 = 1912.7 m  de cable sobre tierra
• $\sqrt{40^2+87.3^2}= 96\;m$ de cable sobre el agua

Necesitamos en total:

Cable: 1912.7 + 96 = 2008.7 m de cable

Sumamos el 10% como en el punto c:

$\dfrac{110}{100}\cdot 2008.7 = 2209.57\approx2210 \;m$

Una vez más no se el precio del cable en brasil. Suponiendo 5 reales el metro:

2210 * 5 = 11050 Reales.

Luego necesitamos en total:

11050 + 20183.3 = 31233.3 Reales.