Question

calcula la siguiente integral​

Answer 1

Hola ..!! , Veamos

        INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Este método consiste en sustituir una variables original en otra de tal manera que pueda simplificarse una integral "Difícil" de poderla convertir en una integral inmediata ,a veces  se busca una sustitución trigonométrica cuando amerita el proceso , es decir cuando encontramos por lo general raíces u variables elevadas al cuadrado y existen muchas más pero conforme se vaya viendo el correspondiente curso se implementara ello.

EJEMPLO:

                                              $I=\frac{1}{3} \int \cfrac{e^\sqrt{x} }{\sqrt{x} } dx$

¿Cómo darse cuenta para aplicar este método?

primeramente aveces tener en cuenta cuando es una integral racional es buscar que la derivada ya sea del numerador o denominador aparezca  ya sea numerado o denominador

por ejemplo en este caso

si derivo $e^{\sqrt{x} }$ obtendré

                                 $\ \ \ \ \ \ y=e^{\sqrt{x} } \\\\ \cfrac{d}{dx} y=e^{\sqrt{x} }.\cfrac{d}{dx} \sqrt{x} \\\\ \cfrac{d}{dx} y=e^{\sqrt{x} }.\cfrac{1}{2\sqrt{x} }$

por lo que en su derivada nos conviene que aparezca $\sqrt{x}$ entonces diremos

sea $y=U$

entonces :

                               $dU=e^{\sqrt{x} }.\cfrac{1}{2\sqrt{x} }.dx$

                               $2.dU=e^{\sqrt{x} }.\cfrac{1}{\sqrt{x} }.dx$

remplazamos "U" en la integral original

                   

                                    $I=\frac{1}{3} \int 2dU$

                                   $I=\frac{2}{3} \int dU$

                                   $I=\frac{2}{3} U+C$

                                   $I=\frac{2}{3} .e^{\sqrt{x} } +C$

Un cordial saludo.