Question

* Considere la siguiente relación sobre el conjunto de números naturales:
$xRy \Leftrightarrow x + y$ es par.
Compruebe que esta relación sea reflexiva, simétrica y transitiva y concluya que es una relación de equivalencia.

* Considere la siguiente relación R sobre el conjunto de números complejos:
Si, $x = a + bi$ y $y = c + di$, entonces $xRy \Leftrightarrow a \leq c$ y $b \leq d$.
Compruebe si esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva y concluya que es una relación de orden parcial.

Answer 1

1*.

x R y ⇔ x+y es par

Comprobemos que es reflexiva:

Para comprobar que es reflexiva debemos probar que ∀ x∈ N se cumple que xRx

Sea x∈N, Tenemos x + x = 2x, y 2x es también un número par, por tanto, xRx es reflexiva.

Comprobemos que es Simétrica:

Para comprobar que la relación es simétrica, debemos probar que::

∀ x,y ∈ N, Si xRy entonces yRx.

Sea x,y∈N, Sabemos que xRy, es decir, x+y es par, entonces por la conmutatividad de la suma en N, se cumple x+y = y+x también es par, por tanto yRx y la relación es simétrica.

Comprobemos que es transitiva:

Para probar que es transitiva debemos mostrar que  ∀ x,y,z ∈ N Si se cumple que xRy y que yRz entonces xRz.

Sea x,y,z ∈ N, Asumamos que se cumple xRy y yRz, es decir, que x+y =2s y que y+z=2t, tal que s,t∈ N, despejemos x y z:

x = 2s-y

z = 2t-y

Si xRz entonces:

x+z = 2s-y + 2t-y = 2s+2t-2y = 2(s+t-y)  donde s+t-y∈N

Luego como x+z es par entonces xRz y la relación es transitiva.

Como se cumple la reflexividad, simetría y transitividad concluimos que es una relación de equivalencia.

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2.*

Comprobemos si es reflexiva:

Para comprobar que es reflexiva debemos probar que ∀ x∈ C se cumple que xRx

Sea x∈C, de la forma x = a+bi tenemos que a=a y b=b por tanto xRx.

Comprobemos si es Simétrica:

Para comprobar que la relación es simétrica, debemos probar que::

∀ x,y ∈ C, Si xRy entonces yRx.

Sea x,y∈C, Sabemos que xRy, es decir, a≤c y que b≤d. La relación yRx implicaría que c≤a y d≤b y esto solo se cumple si x=y, por tanto la relación NO es simétrica.

Comprobemos si es transitiva:

Para probar que es transitiva debemos mostrar que  ∀ x,y,z ∈ C Si se cumple que xRy y que yRz entonces xRz.

Sea x,y,z ∈ C, tal que x = a+bi,  y = c+di , z = e + fi  

xRy → a≤c  y b≤d

yRz →c≤e y d≤f

Como a≤c y c≤e entonces a≤e

Como b≤d y d≤f entonces b≤f

Como se cumple a≤e y b≤f entonces se cumple xRz y la relación es transitiva.

Finalmente concluimos que R es de orden parcial porque se cumple la reflexividad y la transitividad pero no es una relación simétrica.