Question

Su ayuda por favor:
1. el diseño de un puente sobre un rio está dado por la siguiente función $y(x)=-2x^{2} +4$
2. Se debe construir un escalón en la abscisa x=1 metro para lo cual se debe encontrar las Ecuaciones de la recta tangente y Ecuaciones de la recta normal

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta

Tenemos como datos:

$f(x) = - 2 {x}^{2} + 4$

Punto abscisa x=1

Nos piden las ecuaciónes de la recta tangente y normal

Recordemos que una ecuacion de la recta tiene la forma:

$y = mx + b$

m: pendiente

b:ordenada al origen

Voy a suponer que hasta este punto somos unos doctores en hacer derivadas. Tan solo debemos recordar la famosa y querida ecuación punto-pendiente pero aplicada a las ecuaciones de recta tangente y normal

Ecuación de la recta tangente

$y - f(xo) =f'(xo) \times (x - xo)$

Xo: es el punto de abscisa dado

Empezamos por evalúar la función:

$f(1) = - 2( {1)}^{2} + 4$

$f(1) = - 2 + 4$

$f(1) = 2$

Ahora calculamos f'(xo)

$f'(x) = ( - 2 {x}^{2}) ' + (4)'$

$f'(x) = - 4x + 0$

$f'(x) = - 4x$

La evalúamos en x=1

$f'(1) = - 4(1)$

$f'(1) = - 4$

Ahora ya podemos reemplazar todo lo que calculamos

$y - 2 = - 4(x - 1)$

$y - 2 = - 4x + 4$

Por tanto la ecuación de recta tangente es:

$y = - 4x + 6$

Ecuación de la recta normal

$y - f(xo) = - \frac{1}{f'(xo)} \times (x - xo)$

Ya calculamos todo lo anterior, reemplazamos

$y - 2 = - \frac{1}{ - 4} \times (x - 1)$

$y - 2 = \frac{1}{4} x - \frac{1}{4}$

La ecuación de la recta normal es:

$y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{4}$

Saludoss