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Respuesta:
espero que te sirva.......... pero te lo voy a dar ya resuelto
Explicación paso a paso:
1. |x · y| = |x| · |y|
2.
x
y
=
|x|
|y|
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
4. |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k, k ≥ 0
5. |x| ≥ k ⇔ x ≤ −k ∨ x ≥ k, k ≥ 0
1. Resolver la siguiente inecuaci´on:
|x − 1| ≤ 3
Soluci´on
|x − 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 1 ≤ 3/ + 1 por propiedad (4)
⇔ −2 ≤ x ≤ 4
⇒ soluci´on: [−2, 4]
2. Resolver la inecuaci´on:
|2x + 4| ≥ 6
Soluci´on
|2x + 4| ≥ 6 ⇒ 2x + 4 ≤ −6 ∨ 2x + 4 ≥ 6 por propiedad (5)
⇒ x + 2 ≤ −3 ∨ x + 2 ≥ 3 factorizando y simplificando
⇒ x ≤ −5 ∨ x ≥ 1
Como x es menor o igual que −5 o x es meyor o igual que 1, el conjunto soluci´on estar´a dado por la
uni´on de estos intervalos (tal y como se aprecia en la Figura 1)
Luego el conjunto soluci´on ser´a: ] − ∞, −5] ∪ [1,∞[
22
Figura 4.1:
3. Resuelva:
|x
2 + 3| ≥ 5
Soluci´on
|x
2 + 3| ≥ 5 ⇒ x
2 + 3 ≤ −5 ∨ x
2 + 3 ≥ 5 por propiedad (5)
⇒ x
2 ≤ −8 ∨ x
2 ≥ 2
⇒ x
2 ≤ −8/8 ∨ |x| ≥ √
2
⇒ x
2 + 8 ≤ 0 ∨ x
2 ≥ 2
Observamos que x
2 + 8 = 0 no tiene soluci´on en R, es decir su soluci´on es ∅, para el segundo caso se
tiene:
x
2 ≥ 2 ⇒ |x| ≥ √
2 ⇒ x ≤ −√
2 ∨ x ≥
√
2
Luego el conjunto soluci´on se observa en la siguiente imagen (Figura 2)
Figura 4.2:
4. Resuelva la siguiente inecuaci´on:
x
2
+ 7
≥ 2
Soluci´on
x
2
+ 7
≥ 2 ⇒
x
2
+ 7 ≤ −2 ∨
x
2
+ 7 ≥ 2 Por propiedad (5)
⇒
x
2
≤ −9 ∨
x
2
≥ −5 multiplicamos por 2
⇒ x ≤ −18 ∨ x ≥ −10
Figura 4.3:
23
El conjunto soluci´on se observa en la figura anterior (Figura 4), de ah´ı podemos asegurar que la soluci´on final ser´a:
∴ Sol:] − ∞, −18] ∪ [−10,∞[
5. Resuelve las siguiente ecuaci´on con valor absoluto:
|x − 1| + |4 − 2x| = 4
Soluci´on
Vemos que los valores que anulan el valor absoluto son x = 1 y x = 2, luego debemos resolver la
ecuaci´on para los siguientes intervalos:
(−∞, 1)
−x + 1 + 4 − 2x = 4
−3x = −1
x =
1
3
(1, 2)
x − 1 + 4 − 2x = 4
−x = 1
x = −1
Esta soluci´on no pertenece al intervalo, por lo cual se descarta
(2,∞)
x − 1 − 4 + 2x = 4
3x = 9
x = 3
Luego las soluciones son x = 3, x =
1
3