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Explicación paso a paso:
Series Aritméticas
Objetivos:
Identificar una serie aritmética y calcular su término general.
Realizar las sumas de términos de series aritméticas.
Deducir que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Hallar la suma de n términos consecutivos de una serie aritmética.
Definición:
Definición. una serie aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la serie o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Término general.
Fijémonos en la serie aritmética infinita a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según la definición, cada término es igual al anterior más la diferencia.
a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + d + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 2d + d = a 1 + 3d
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
a n = a 1 + d · n - 1
Suma de los primeros n términos.
Consideremos la serie formada por los seis primeros múltiplos de 5:
an → 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Observemos que la suma de los extremos es:
a 1 + a 6 = 5 + 30 = 35
y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:
a 2 + a 5 = 10 + 25 = 35
a 3 + a 4 = 15 + 20 = 35
En general, en una serie aritmética finita se verifica:
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
En una serie aritmética finita, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una serie aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la serie 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta serie es escribir la suma dos veces invirtiendo los términos en una de ellas.
S 6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
+ S 6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5
Sumando las dos igualdades resulta: 2S 6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
2S 6 = 6 · 35 = 6 · (5 + 30)
S 6 = [ 6 · 5 + 3 0 ] 2 = 1 0 5
Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la serie a1, a2, a3,..., an-1, an?
Llamemos Sn a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas.
S n = a 1 + a 2 + ··· + a n-1 + a n
+ S n = a n + a n-1 + ··· + a 2 + a 1
Sumando las dos igualdades resulta: 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n-1 ) + ··· + (a n-1 + a 2 ) + (a n + a 1 )
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene:
2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + ··· + (a 1 + a n ) = (a 1 + a n ) · n
de donde:
S n = a 1 + a n 2 · n
Ejemplos: Las siguientes son series aritméticas
La sucesión 3, 5, 7, 9, 11 es una serie aritmética de constante (o diferencia común) 2.
Aplicando las formulas para hallar el término general y la suma de los n términos son:
Para el término general:
a n = a 1 + n - 1 · d ⟶ a 5 = 3 + 5 - 1 · 2 ⟶ a 5 = 3 + 8 = 11
Para la suma de los primeros n términos:
S n = a 1 + a n 2 · n ⟶ S 5 = 3 + 11 2 · 5 ⟶ S 5 = 7 · 5 = 35
La sucesión 5, 2, -1, -4 es una serie aritmética de constante -3.
Para el término general:
a n = a 1 + n - 1 · d ⟶ a 4 = 5 + 4 - 1 · (-3) ⟶ a 4 = 5 + (-9) = -4
Para la suma de los primeros n términos:
S n = a 1 + a n 2 · n ⟶ S 4 = 5 + (-4) 2 · 4 ⟶ S 4 = 1 2 · 4 = 2
El término general de la serie aritmética 5, 8, 11, 14... es:
an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2
El término general de una serie aritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es:
an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11
Vamos a hallar el primer término de una serie aritmética sabiendo que a11 = 35 y d = 4.
Para ello escribimos a11 = a1 + (11 - 1) · 4, es decir, 35 = a1 + 40, de donde a1 = 35 - 40 = -5
Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término cualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 + (n - 1) · d y ak = a1 + (k - 1) · d, despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:
a n = a k + n - k · d
Práctica:
Oprime el siguiente botón para practicar
Series Aritméticas
Conclusiones:
Haz completado el tutorial de Series Aritméticas. Debes ser capaz de identificar las series aritméticas, y de encontral el n-ésimo término de la misma.
Calcular las suma de la serie dada, usando la respectiva formula.
Ademas dado el n-ésimo término de una serie, debes ser capaz de encontrar cualquier término de la misma.