Question

derivada de las siguientes funciones f(x))= \frac{cos3x}{sen5x} y f(x)=x^2.cos(3x^2 - 1)

Answer 1

$\frac{d[cos(3x)sen(5x)]}{dx}$
Como tenemos la derivada de un producto de funciones, lo que debemos hacer es aplicar la fórmula. 

$\frac{d[cos(3x)sen(5x)]}{dx}= cos(3x)* \frac{sen(5x)}{dx}+sen(5x)* \frac{cos(3x)}{dx}$

$5cos(5x)*cos(3x)+sen(5x)* (-3sen(3x))$

Aquí usaremos 2 identidades trigonométricas para simplificar la expresión anterior.
Identidades trigonométricas usadas:
$cos(x)cos(y)= \frac{cos(x+y)+cos(x-y)}{2}$

$sen(x)sen(y)= \frac{cos(x-y)-cos(x+y)}{2}$

Simplificando:
$5( \frac{cos(8x)+cos(2x)}{2}) -3( \frac{cos(2x)-cos(8x)}{2} )$

$\frac{5cos(8x)}{2} +\frac{5cos(2x)}{2} - \frac{3cos(2x)}{2}+\frac{3cos(8x)}{2}$

$\frac{8cos(8x)}{2} +\frac{2cos(2x)}{2}$

$4cos(8x) +cos(2x)$


Para la segunda derivada tenemos que aplicar la misma fórmula:
$\frac{ d (x^{2} cos(3 x^{2} -1))}{dx}$

$x^{2} *\frac{ d (cos(3 x^{2} -1))}{dx}+cos(3 x^{2} -1)* \frac{ d x^{2} }{dx}$

$x^{2} *(-6xsen(3 x^{2} -1))+cos(3 x^{2} -1)*2x$

$-6x^{3}sen(3 x^{2} -1)+2xcos(3 x^{2} -1)$

=)