Question

Una bola es lanzada desde una torre de 200 metros de altura con una velocidad de
30m/s a 500 con respecto a la horizontal. a) Haga un dibujo de la situación mostrando
la trayectoria de la bola b) ¿Qué tan lejos de la base de la torre caerá la bola? c) ¿Con
que velocidad golpea el suelo?

Answer 1

a) Se adjunta gráfico de la situación que muestra la trayectoria de la bola

b) La bola cae al suelo a 176,46 metros de la base de la torre

c) La bola golpea el suelo a una velocidad de 69,42 metros/segundos

Procedimiento:

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ sen \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución:

a) Haga un dibujo de la situación mostrando la trayectoria de la bola

Se encuentra la representación de la situación en el gráfico adjunto  

b) ¿Qué tan lejos de la base de la torre caerá la bola?

Se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos la velocidad inicial de la bola sobre el eje y

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 30\ m/ s \ . \ sen \ 50\° }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 22,98\ m/ s }}}$

Determinaremos el tiempo en que la pelota llega al suelo (y=0)

$\boxed {\bold { y = y_{0} + {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { 0= 200 + 22,98 t \ -\frac{9,8 \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { 0= 200 + 22,98 t -4,9t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { 4,9t^{2} -22,98t - 200 = 0 }}}$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 4,9, b =-22,98 y c = -200 }$

$\textsf{Para resolver para t, para hallar el tiempo que tarda la bola en llegar al suelo }$    

$\boxed{ \bold{t = \frac{ 22,98 \pm \sqrt{ ( -22,98)^2 - 4\ . \ (4,9 \ . \ -200) } }{2 \ . \ 4,9} }}$

$\boxed{ \bold{t= \frac{ 22,98 \pm \sqrt{ 528,0804 - 4\ . \ -980 } }{9,8} }}$

$\boxed{ \bold{t= \frac{ 22,98 \pm \sqrt{ 528,0804 + 3920 } }{9,8} }}$

$\boxed{ \bold{t= \frac{ 22,98 \pm \sqrt{ 4448,0804 } }{9,8} }}$

$\boxed{ \bold{ t= 2,35 \ \pm \ 6,80 }}$

$\boxed{ \bold{ t= 9,15, -4,45 }}$

$\textsf {Donde se toma para t (tiempo) el valor positivo }$

$\boxed{ \bold{ t= 9,15 \ segundos }}$

La bola demora 9,15 s en caer al suelo

Conociendo el valor del tiempo- el cual es el mismo para los dos movimientos en x y en y.  podemos ahora hallar a que distancia de la base de la torre cae la bola

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 30\ m/ s \ . \ cos \ 50\° }}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 19,285\ m/ s }}}$

Si

$\boxed {\bold { x =V_{x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { x = 19,285 \ m/s \ . \ 9,15 \ s }}$

$\boxed {\bold { x = 176,457 \ metros }}$

$\boxed {\bold { x = 176,46 \ metros }}$

La bola cae al suelo a 176,46 m de la base de la torre

c) ¿Con que velocidad golpea el suelo?

Para hallar con que velocidad la bola golpea el suelo, empleamos el teorema de Pitágoras:

$\boxed{ \bold { V = \sqrt{ ( V_{x} )^{2} + (V_{y} )^{2} } } }$

Para hallar la velocidad resultante

Siendo

$\boxed {\bold { V_{x} }}$    $\textsf{La velocidad en x, la cual es constante, dado que no hay aceleraci\'on }$

Siendo

$\boxed {\bold { V_{y} }}$  $\textsf{La velocidad en y, la cual tiene aceleraci\'on constante, por la gravedad }$

Donde conocemos $\bold { V_{x} }$  $\textsf{Ya determinada }$

$\boxed {\bold {V_{x} = 19,285\ m/ s }}}$

Para calcular $\bold { V_{y} }$ $\textsf{Determinaremos la velocidad de la bola justo antes que toque el suelo }$

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} - g \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =22,98 \ m/s - 9,8 \ m/s^{2} \ . \ 9,15 \ s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =22,98 \ m/s - 89,67\ m/s }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} =-66,69 \ m/s }}}$

Empleamos Pitágoras

$\boxed{ \bold { V = \sqrt{ ( V_{x} )^{2} + (V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { V = \sqrt{ ( 19,285 )^{2} + (-66,69 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { V = \sqrt{ 371,911225 +4447,5561 } } }$

$\boxed{ \bold { V = \sqrt{ 4819,467325 } } }$

$\boxed{ \bold { V = 69,42238 \ m/s } }$

$\boxed{ \bold { V = 69,42 \ m/s } }$

La bola golpea el suelo a una velocidad de 69,42 m/s