Calcula el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 10cm de diámetro.
POR FAVOR NECESITO DE SU AYUDA:(
Gracias por tomarte el tiempo de resolverlo, vales oro:'(
No contesten solo por puntos unu, hoy por mi, mañana yo por ti :(((
Respuestas
Respuesta:
El área de un polígono regular se puede calcular en general como.
A = P * a / 2 --- P es el perímetro, o sea, la suma de todos los lados, y "a" la apotema, que es la línea que une el centro del polígono con el centro de cualquiera de los lados---
a) L = 5 m
Si en el hexágono trazamos las diagonales que unen vértices opuestos, el polígono nos queda dividido en 6 triángulos, que en este caso concreto serán equiláteros, y por tanto, cada ángulo interno del triángulo medirá 60º
Si en un triángulo de los dichos, trazamos la altura, ésta resulta ser la apotema. La base inferior, que la podemos asimilar al cateto contiguo de uno de los ángulos de 60º es el semilado del hexágono. Con todo esto podemos plantear.
tan 60 = a / ( L / 2 ) ---> L / 2 * tan 60 = a --> a = 5 / 2 * tan 60 = 4.33 m
Y el perímetro es ---> P = 6 * L = 6 * 5 = 30 m
Es decir, el área del hexágono será:
A = 30 * 4.33 / 2 ---> A = 64.95 m ^2
b) Volvemos a dividir el hexágomo en los 6 triángulos equiláteros. En este caso, ******** uno de esos triángulos, la hipotenusa del mismo resulta ser el radio de la circunferencia que circunscribe al polígono. La altura del triángulo, que es la apotema del hexágono la tomamos como el cateto opuesto de uno de los ángulos de 60º, y respecto de ese mismo ángulo, el cateto contiguo será el semilado del hexágono. Por tanto podemos plantear:
sen 60 = a / R ---> a = R * sen 60 --- R = 10 cm, pues el diámetro vale 20 ----
a = 10 * sen 60 = 8.66 cm
cos 60 = ( L / 2 ) / R --> L / 2 = R * cos 60 --> L = 2 * R * cos 60
L = 2 * 10 * cos 60 = 10 cm
Con lo cual el perímetro es ---> P = 6 * L = 6 * 10 = 60 cm
Finalmente, el área quedaría:
A = P * a / 2 = 60 * 8.66 / 2 ----------> A = 259.8 cm ^2
Espero que te sirva de ayuda