Tema: Desplazamientos y rotaciones.
Se tiene una elipse cuyo eje mayor es el doble del eje menor y está en el centro del plano cartesiano. Esta elipse toca a un círculo unitario sobre el eje de las ordenadas. ¿Cuál es la ecuación de la elipse?
Respuestas
RespuestaHallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x,y) P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijosF_1(4,2) y F_2(-2,2) sea igual a 8.
Solución
Buscamos que la suma de las distancias \overline{PF_1} y \overline{PF_2} sea siempre igual a 8, es decir,
\displaystyle \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 8
Por lo tanto, tenemos que,
\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = 8
Si despejamos una raíz, se obtiene
\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} = 8 - \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}
Luego, elevando al cuadrado, tenemos que
\displaystyle (x+2)^2 + (y-2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2 + (y - 2)^2
Observemos que el término (y-2)^{2} se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda
\displaystyle (x+2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2
Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,
\displaystyle x^2 + 4x + 4 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + x^2 - 8x + 16
Luego, reagrupando términos semejantes )-y dividiendo la ecuación por 4—, tenemos
\displaystyle 3x - 19 = -4 \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}
Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:
\displaystyle 9x^2 - 114x + 361 = 16\left((x - 4)^2 + (y - 2)^2 \right)
es decir,
\displaystyle 7x^2 + 16y^2 - 14x - 64y - 41 = 0