El
crecimiento de una colonia de insectos sigue un crecimiento exponencial que
puede ser modelado con la siguiente función (fórmula para el crecimiento
poblacional)
Donde
“P” será el número de insectos que
se tendrán al transcurrir “t” días,
“r” la tasa de crecimiento y no=
número inicial de los insectos.
Si inicialmente había 1200 insectos y
después de tres días la población de
éstos aumenta a 1900,
a)
¿Cuál es la tasa relativa de crecimiento “r” ? Exprese su respuesta como
porcentaje
b)
¿Cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 8 días?
c)
¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 12,000
mosquitos?
Respuestas
Respuesta dada por:
6
Tenemos que P es función del tiempo, esto es:
![P=P(t)=n_0\cdot e^{r-t} P=P(t)=n_0\cdot e^{r-t}](https://tex.z-dn.net/?f=P%3DP%28t%29%3Dn_0%5Ccdot+e%5E%7Br-t%7D)
Si inicialmente había 1200 insectos, entonces
.
Si al tercer día había 1900 insectos, entonces![P(3)=1900 P(3)=1900](https://tex.z-dn.net/?f=P%283%29%3D1900)
Entonces, con estas dos condiciones podremos calcular tanto
como
, resolviendo el siguiente sistema:
![\left \{ {{n_0\cdot e^r=1200} \atop {n_0\cdot e^{r-3}=1900}} \right. \to \left \{ {{e^r=\frac{1200}{n_0} \atop {e^{r-3}=\frac{1900}{n_0}} \right.\to \left \{ {{Ln(e^r)=Ln\left(\frac{1200}{n_0}\right) \atop {Ln(e^{r-3})=Ln\left(\frac{1900}{n_0}\right)} \right. \left \{ {{n_0\cdot e^r=1200} \atop {n_0\cdot e^{r-3}=1900}} \right. \to \left \{ {{e^r=\frac{1200}{n_0} \atop {e^{r-3}=\frac{1900}{n_0}} \right.\to \left \{ {{Ln(e^r)=Ln\left(\frac{1200}{n_0}\right) \atop {Ln(e^{r-3})=Ln\left(\frac{1900}{n_0}\right)} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bn_0%5Ccdot+e%5Er%3D1200%7D+%5Catop+%7Bn_0%5Ccdot+e%5E%7Br-3%7D%3D1900%7D%7D+%5Cright.+%5Cto++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Be%5Er%3D%5Cfrac%7B1200%7D%7Bn_0%7D+%5Catop+%7Be%5E%7Br-3%7D%3D%5Cfrac%7B1900%7D%7Bn_0%7D%7D+%5Cright.%5Cto++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BLn%28e%5Er%29%3DLn%5Cleft%28%5Cfrac%7B1200%7D%7Bn_0%7D%5Cright%29+%5Catop+%7BLn%28e%5E%7Br-3%7D%29%3DLn%5Cleft%28%5Cfrac%7B1900%7D%7Bn_0%7D%5Cright%29%7D+%5Cright.)
Y así vas resolviendo el sistema.
Si inicialmente había 1200 insectos, entonces
Si al tercer día había 1900 insectos, entonces
Entonces, con estas dos condiciones podremos calcular tanto
Y así vas resolviendo el sistema.
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