Question

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta eon una razón proporcional a lacantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cincoanos, Len cuanto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

Answer 1

tema ecuaciones diferenciales:
Solución a tu problema:
Sea:...................P: Población de la comunidad en el tiempo "t".
..........................P(o): Población inicial, en t=0
..........................t: Tiempo, en años

.........................dP / dt : rapidez con la que aumenta la población.

..........................k > 0 : Constante de proporcionalidad.

De tal manera que:

...... dp / dt = k*p <=> dp / p = k*dt <=< LnP = k*t + C(1) <=> P = Ce^(k*t) ..(1)

..... P(o) = P(0) ....(2)
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene el valor de la constante c:

=> P(o) = ce^(k(0)) <=> c=P(o) .......(3)
=> P = P(o)*e^(kt) ......{(3) en (1)}......(4)

....t = 5 .........|==>  La población se duplicó en cinco años.....(5)
....P= 2P(o)....|

=> 2P(o) = P(o)e^(5k) .......{(3) en (4)}

=> 2 = e^(5k) <=> 5k 0 Ln2 <=> k = 0.13863.......(6)

La función que dá: la población en función del tiempo "t", se obtiene sustituyendo (6) en (4):

..... P = P(o)*e^(0.13863*t) <=> 3 = e^(0.13863*t) <=> 0.13863t = Ln (3) <=> ...

... t = 1.09861 / 0.13863 <=> t = 7.9

Cuando la población se cuadruplica ...(7) queda:

.... 4P(o) = P(o)*e^(0.13863*t) <=> 4 = e ^(0.13863*t) <=> 0.13863*t = Ln (4) <=>..
.. t = 1.38629 / 0.13863 <=> t = 10.

Rta: la población se triplicara, aproximadamente a los 7,9 años; y se cuadruplicara a los 10 años.

espero haberte ayudado. Suerte.