Question

determina el angulo agudo (teta) que satisface la ecuacion:

a)sen (teta) =cos(2  teta +30º)
b)tan (teta) = cot ( teta +45º)
2)determina el valor exacto de 
seno (1º)+sen (2º)+sen(3º)+....+sen(358º) +sen (359º)
con su procedimiento por favor 

Answer 1

Veamos: Para a) y b), utilizaremos la propiedad de Razonones Trigonometricas de angulos complementarios:  Rt(x)=CoRt(90°-x)

Obs: Por comodidad haremos: Teta=x
a) Sen(x)=Cos(2x+30°)
 Luego por propiedad: x + 2x + 30° = 90°
              ------------>     3x = 90° - 30°
                                  3x = 60°
                                    x = 20°

b)Tan(x)=Cot(x+45°)
   -----------> x + x + 45° = 90°
                    2x = 90° - 45°
                     2x = 45°
                       x = 22,5°

2) M = sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+....+sen(358º) +sen (359º)

Lo haremos en 2 partes: A= sen 1°+...+sen(180°)     y   B=sen(181°)+...+sen359°
                                   M = A + B

A=sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...+sen(89°)+sen(90°)+sen(91°)+...+sen(179°)+sen(180°)
 =sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...+sen(89°)+ 1 +sen(90°+1°)+...+sen(90°+89°)+0

Aplicando: Rt(90°+x)=CoRt(x)

 =sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...+sen(89°)+ 1 +cos(1°)+...+cos(89°)

Por angulos complementarios:
=sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...+sen(89°)+ 1 +sen(89°)+sen(88°)...+sen(2°)+sen(1°)
A=2[sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...sen(88°)+sen(89°)] +1

De manera similar para B, pero como de 181° hasta 359° pertenecen al tercer o cuarto cuadrante, los senos seran negativos.

B= sen(181°)+sen(182°)+...+sen269°+sen270°+sen271°+....+sen(358°)+sen359°
B= sen(180°+1°)+sen(180°+2°)+...+sen(180°+89°)+sen270°+sen(270°+1°)+...+sen(270°+88°)+sen(270°+89°)

Aplicamos: Rt(180°+x)=Rt(x)   y   Rt(270°+x)=CoRt(x)
B= -sen(1°)-sen(2°)-...-sen(89°)-1-cos(1°)-....-cos(88°)-cos(89°)
B= -sen(1°)-sen(2°)-...-sen(89°)-1-sen(89°)-....-sen(2°)-sen(1°)
B= -2[sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...sen(88°)+sen(89°)]-1

Luego: Sumando
        A=2[sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...sen(88°)+sen(89°)] +1
        B= -2[sen(1º)+sen (2º)+sen(3º)+...sen(88°)+sen(89°)]-1
      M = A + B

Luego: M = 0