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Toda nuestra vida es una sucesión de problemas que vamos resolviendo con más o menos acierto. Nuestro cerebro ha evolucionado justo para resolver estos problemas. La solución de problemas es una de las actividades humanas más características. Podemos definir la Matemática como el arte de resolver problemas. Es por eso que es tan útil y que estamos tan adaptados a ser matemáticos. Toda persona lleva un matemático dentro.
La Matemática abstrae los problemas de la vida eliminando la pasión, el deseo, los sentimientos, … que en muchas ocasiones nos impiden ver con claridad las situaciones diarias. Pero se trata de los mismos problemas. La Geometría es una de las ramas que se desarrolló en primer lugar debido a la importancia práctica de los problemas geométricos.
Hemos aprendido mucho sobre cómo plantear y resolver problemas. El matemático húngaro George Pólya dedicó mucha esfuerzo en aislar las técnicas de solución de problemas. En mi opinión con mucho éxito. Escribió un libro que no puedo recomendar bastante.
G. Pólya, How to solve it, Princeton University Press 2004.
En este libro Pólya considera técnicas generales, analogía, generalización, etc. Una idea fundamental del libro es: Si no puedes resolver un problema, entonces hay un problema más fácil que tampoco puedes resolver, encuéntralo. El objetivo de este consejo es que la solución del problema más fácil puede ser la clave para la solución del difícil. Esto en la práctica de los matemáticos se traduce en usar técnicas que otros hayan podido usar en la solución de otros problemas similares.
Los matemáticos siguen este procedimiento general. Ante un problema nuevo el matemático trata de buscar problemas análogos más simples que ya se sepan resolver y trata de ver si la solución del problema conocido le inspira cómo resolver su problema inicial. Muchas veces la ayuda de un problema análogo no es suficiente y hay que añadir una nueva idea. De este modo los métodos de solución se van afinando con el tiempo.
Cuando alguno encuentra la solución de un problema que ya ha sido considerado anteriormente sin éxito por otros matemáticos, es seguro que la solución contiene alguna idea nueva y todos tratan de aplicarla a la solución de otros problemas similares, que anteriormente no se supieran resolver. Generalmente esto tiene éxito y la nueva técnica se incorpora al cajón de herramientas del matemático.