Asignatura: Matemáticas
Autor: danymagana
hace 6 años

Demostrar que: a) Si R y S son relaciones reflexivas, R∪S es reflexiva, b) Si R y S son simetricas, R∩S es simetrica

olayapolo07: ¿Esas relaciones las definen con anterioridad?

danymagana: Nope, hasta ahora estoy usando la definicion de union y llevo algo asi: ∀x:(x,x)∈RuS si ∀x : (x,x) ∈ R ∨ (x,x) ∈ S , y como R y S son reflexivas, ∀x∈X (x,x)∈RuS. Pero no se si sea una demostración valida, mi profe me dijo que tenia que usar la definición de union entonces creo que por ahi va la cosa, que opinas?

olayapolo07: Sí tu demostración es correcta

olayapolo07: En la respuesta te voy a mostrar una demostración que encontré. Es igual a la tuya

olayapolo07: ¿Ya tienes (b)?

danymagana: Aun no

olayapolo07: Ya la subo

Respuestas

Respuesta dada por: olayapolo07

Respuesta:

La respuesta de (a) la puedes corroborar en la imagen.

Para (b) consideremos lo siguiente:

Por el enunciado del problema sabemos que $R$ y $S$ son relaciones simétricas en un conjunto $X$ . Probemos primero que su intersección también es una relación en $X$ . Tenemos que $R \subset X \times X$ y $S \subset X \times X$ , así que la intersección de $R$ y $S$ también es un subconjunto de $X \times X$ y por lo tanto, $R\cap S$ también es una relación en $X$ . Ahora probemos que $R\cap S$ es simétrica en $X$ .

sean $a,b \in X$ tales que $(a,b)\in R\cap S$ , tenemos que $(a,b)\in R$ y $(a,b)\in S$ , por la simetría de $R$ y $S$ tenemos también que $(b,a)\in R$ y $(b,a)\in S$ , de aquí que $(b,a)\in R\cap S$ , demostrando que $R\cap S$ es simétrica en $X$ $\blacksquare$