Question

Hola, me gustaria que me pudieran ayudar a derivar paso a paso esta ecuación, gracias
$y=\frac{e^{2x}}{\sqrt{x}}$

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta

Tenemos la función:

$y = \frac{e {}^{2x} }{ \sqrt{x} }$

Para derivar esta función, vamos a usar las siguientes reglas de derivación:

1. Regla del Cociente:

$\frac{d}{dx}( \frac{f(x)}{g(x)} ) = \frac{g(x) \times \frac{d}{dx} (f(x)) - f(x) \times \frac{d}{dx} g(x)}{(g(x) {)}^{2} }$

2. Regla de la potencia

$\frac{d}{dx} ( {x}^{n} ) = n \times x {}^{n - 1}$

3. (No me acuerda el nombre, xd)

$\frac{d}{dx} (e {}^{ax} ) = a \times e {}^{ax}$

Con estas 3 reglas ya podemos hacer el ejercicio:

Empezamos usando la primera regla

$\frac{dy}{dx} = \frac{ \sqrt{x} \times \frac{d}{dx} ({e}^{2x}) - {e}^{2x} \times \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) }{( \sqrt{x} {)}^{2} }$

Recorda que:

$\sqrt{x} = {x}^{ \frac{1}{2} }$

Ahi podemos aplicar la 2da regla, nos queda:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times x {}^{ - \frac{1}{2} }$

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{ {x}^{ \frac{1}{2} } }$

$\frac{1}{2 {x}^{ \frac{1}{2} } }$

Ahora derivemos:

$y = e {}^{2x}$

$\frac{dy}{dx} = 2e {}^{2x}$

Reemplazando:

$\frac{dy}{dx} = \frac{ \sqrt{x} \times 2 {e}^{2x} - e {}^{2x} \times \frac{1}{2 {x}^{ \frac{1}{2} } } }{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{ {x}^{ \frac{1}{2} } \times 2 {e}^{2x} - \frac{e {}^{2x} }{2 {x}^{ \frac{1}{2} } } }{x}$

Allí quedó la derivada de la función

Saludoss