Question

Al acercarse una patrulla a un edificio abandonado, se observa que el ángulo de elevación a la azotea de dicho edificio es 10°, pero al acercarse 200 metros su ángulo de elevación es de 15°. ¿Cuál es la altura del edificio?

Answer 1

La altura del edificio es de aproximadamente 103,13 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos

El primer imaginario triángulo rectángulo ABC está conformado por el lado AB que equivale a la altura del edificio,  el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta el edificio - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DC, y no sabemos la longitud del segmento BD  al cual llamaremos variable x - y el lado AC es la proyección visual hacia la azotea del edificio con un ángulo de elevación de 10°.

El segundo imaginario triángulo rectángulo ABD está configurado por el lado AB que equivale a la altura del edificio, el lado BD que es la distancia sobre el plano del suelo del observador hacia el edificio después de acercarse en línea recta hacia él 200 metros. Este lado BD es de valor desconocido y es al que llamamos variable x. Y por último tenemos el lado AD que es la proyección visual hacia la azotea del edificio con un ángulo de elevación de 15°.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos

• Distancia del observador al edificio  = 200 m + x

• Ángulo de elevación = 10°

• Ángulo de elevación = 15°  

• Debemos hallar la altura del edificio = lado AB = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde x será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta el edificio, desde que el observador se acercó a este 200 metros , que equivale al lado BD del segundo triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita y será la altura del edificio que es igual a la medida del lado AB de ambos triángulos rectángulos.    

Si 10° y 15° son uno de los ángulos agudos da cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado BC), los dos ángulos de elevación según se sitúe el observador en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura del edificio, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente,  

Como conocemos parcialmente el lado BC, y desconocemos el segmento BD = incógnita x

Dónde el lado AB equivale a la altura de la torre = incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed{\bold { tan(15)\° = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ y = x \ . \ tan(15)\°}}}$

$\boxed{\bold { tan(10)\° = \frac{y}{x+200} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \to \ y = (x +200)\ . \ tan(10)\°}}}$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed{\bold {x\ . \ tan (15)\°=(x+200) \ . \tan (10)\°}}$

$\boxed{\bold {x\ . \ tan (15)\°=x \ . \ tan(10)\°+200 \ . \tan (10)\°}}$

$\boxed{\bold {x\ . \ tan (15)\°- x \ . \ tan(10)\°=200 \ . \tan (10)\°}}$

$\boxed{\bold {x\ . \ (tan (15)\°- tan(10)\°)=200 \ . \tan (10)\°}}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 200 \ . \ tan (10)\° }{( tan (15)\°- tan(10)\°) }}}$

Como 15° es un ángulo notable

$\boxed{ \bold{ tan(15)\° = 2 - \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 200 \ . \ 0,1763269807084 }{ 2- \sqrt{3} - \ 0,1763269807084 }}}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 35,265396141692 }{ 1,8236730192916 - \sqrt{3} }}}$

$\boxed{\bold {x = \frac{ 35,265396141692 }{ 0,0916222117226 }}}$

$\boxed{\bold {x \approx 384,90007 \ metros }}}$

$\boxed{\bold {x \approx 384,90\ metros }}}$

La medida del segmento BD es de ≅ 384,90 metros

Hallando la altura del edificio abandonado

Si

$\boxed{\bold { y = x \ . \ tan(15)\°}}}$

y

$\boxed{\bold {x = \frac{ 200 \ . \ tan (10)\° }{( tan (15)\°- tan(10)\°) }}}$

Reemplazando

$\boxed{\bold {h = \frac{ 200 \ . \ tan (10)\° \ . \ tan(15)\° }{( tan (15)\°- tan(10)\°) }}}$

$\boxed{\bold {h = \frac{ 200 \ . \ 0,1763269807084 \ . \ 2- \sqrt{3} }{ 2- \sqrt{3}- \-0,1763269807084 }}}$

$\boxed{\bold {h = \frac{ 35,265396141692 \ . \ 2- \sqrt{3} }{ 2- \sqrt{3}- \-0,1763269807084 }}}$

$\boxed{\bold {h = \frac{ 35,265396141692 \ . \ 2- \sqrt{3} }{ 1,8236730192916 - \sqrt{3} }}}$

$\boxed{\bold {h = \frac{ 9,4493344169302 }{ 0,0916222117226 }}}$

$\boxed{\bold {h , \approx 103,13364\ metros }}}$

$\boxed{\bold {h , \approx 103,13\ metros }}}$

La altura del edificio es de ≅ 103,13 metros