Question

Un depósito de longitud 14 m, ubicado de forma tal que su eje está en posición horizontal, está lleno
de agua hasta ¾ de su altura. Posee secciones transversales en forma de un segmento parabólico cuyo borde
superior mide 18 m y tiene una altura de 25 m.
a) Dibuje el depósito ubicando sus dimensiones y ejes de referencia.
b) Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre una de las secciones transversales.

Answer 1

Cada sección del tanque de 1 metro de longitud soporta una fuerza de 3,15MN

Explicación paso a paso:

Si el tanque tiene seccion en forma de segmento parabólico, la forma es la de la imagen adjunta.

Es decir tiene la forma de una canaleta de 14 metros de longitud. La fuerza sobre la sección transversal es función de la presión del agua en cada punto de ella:

$F=P.A\\\\dF=P.dA$

Si la fuerza es sobre cada sección transversal en forma de parábola, definimos un diferencial de área y con el el diferencial de fuerza:

$dF=P.dx.dy$

La presión es función del nivel de agua en cada punto:

$P=\delta.g.h\\\\h=h_a-z$

donde ha es la altura del agua que como es 3/4 de la altura del depósito, como tiene 25 metros de altura es ha=3/4.25=75/4 y z la profundidad del canal en cada punto. Definimos la ecuación de esta sección:

$z=f(x)=kx^2\\\\25=k.(9m)^2\\\\k=\frac{25}{81}=z=\frac{25}{81}x^2$

Esto último es porque al tener 18 metros de ancho máximo, y poner el eje de simetría en x=0, tiene 9 metros a cada lado, y el ancho máximo es a la altura del tanque. Entonces el diferencial de fuerza queda:;

$dF=\delta.g.(\frac{75}{4}-\frac{25}{81}x^2).dx.dy$

Procedemos a hallar la integral doble:

$F=\delta.g.\int\limits^{14}_{0} \int\limits^{9}_{-9} {\frac{75}{4}-\frac{25}{81}x^2} \, dx dy\\\\F=\delta.g.\int\limits^{14}_{0} [\frac{75}{4}x-\frac{25}{243}x^3]^{9}_{-9} dy\\\\F=\delta.g.\int\limits^{14}_{0} \frac{675}{2}-\frac{50}{3} dy\\\\F=\delta.g[\frac{1925}{6}.y]^{14}_0$

Si realizamos la integral definida tenemos la fuerza que soporta el tanque pero también tenemos la fuerza por unidad de longitud:

$F=\delta.g.\frac{1925}{6}y=1000\frac{kg}{m^3}.9,81\frac{m}{s^2}.\frac{1925}{6}y\\\\F=3,15\times 10^{6}y$

Como las medidas están en metros, cada sección de 1 metro de longitud soporta una fuerza de 3,15MN