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Respuesta:
Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma
B(x)
A(x)
donde A(x) y B(x) son
polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.
Por ejemplo,
x 2
7
− es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un
polinomio y el denominador B(x) = x − 2 también es un polinomio.
También es una expresión algebraica racional
x 7x
x 2x 3
2
3
+
− + .
¿Es
x 3
x 3x 5 3
−
+ una expresión algebraica racional?..............................................................................
La expresión x 2 − 9 es también racional porque x 2 − 9 es un polinomio y 1, su denominador,
también lo es.
Simplificación de expresiones racionales
Recordamos que, dado el racional 3
2 podemos hallar otros equivalentes con él: ... 21
14
6
4
3
2 = = =
donde con n 0
b n
a n
b
a
≠ ⋅
⋅ = .
Análogamente para la expresión racional B(x)
A(x)
pueden hallarse expresiones racionales
equivalentes:
B(x) N(x)
A(x) N(x)
B(x)
A(x)
⋅
⋅ = siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.
En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple
que una dada. Por ejemplo, 12
7
2 3 11
7 11
132
77
2 = ⋅ ⋅
⋅ =
También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores
comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.
Consideremos
x 3x x 3
x 1
3 2
2
+ − −
− . Factorizamos su numerador y su denominador:
x 1 (x 1)(x 1) 2 − = + −
x 3x x 3 x (x 3) (x 3) (x 3)(x 1) (x 3)(x 1)(x 1) 3 2 2 2 + − − = + − + = + − = + + −
Entonces
x 3
1
(x 3)(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)
x 3x x 3
x 1
3 2
2
+ = + + −
+ − = + − −
− si x ≠ 1 y x ≠ −1
Las dos expresiones racionales,
x 3x x 3
x 1
3 2
2
+ − −
− y
x 3
1
+
son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.
Explicación paso a paso:
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