Question

Holaaa, ayúdenme a resolver esto por favor.

“Raíz cuadrada” de 4x + 5 = 1+ “raíz cuadrada” de 3x + 1

Answer 1

Ecuaciones irracionales

$\sqrt{4x+5} = 1 +\sqrt{3x+1}$

Ordenamos la ecuación de manera que las raíces queden a un lado de la igualdad:

$\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+1} = 1$

Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

$(\sqrt{4x+5}-\sqrt{3x+1})^{2} =( 1)^{2}$

Si te fijas, a la izquierda queda un binomio de Newton, en concreto el cuadrado de una resta, por lo tanto su resultado al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo:

$(\sqrt{4x+5})^{2} -2(\sqrt{4x+5})(\sqrt{3x+1}) +(\sqrt{3x+1})^{2} =( 1)^{2}$

Desarrollamos las potencias: al elevar al cuadrado una raíz el signo radical desaparece y queda:

$4x+5 -2(\sqrt{4x+5})(\sqrt{3x+1}) + 3x+1 = 1$

Ahora agrupamos el producto de raíces:

$4x+5 -2\sqrt{(4x+5)(3x+1)} + 3x+1 = 1$

Volvemos a agrupar la ecuaciones dejando la raíz a un lado:

$-2\sqrt{(4x+5)(3x+1)} = 1 - 4x - 5 - 3x - 1$

$-2\sqrt{(4x+5)(3x+1)} = - 7x - 5$

Cambiamos el signo puesto que todos los miembros de la ecuación tienen signo negativo:

$2\sqrt{(4x+5)(3x+1)} = 7x + 5$

Volvemos a tener una raíz, por lo que es necesario volver a elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

$\left(2\sqrt{(4x+5)(3x+1)}\right)^{2} = (7x + 5)^{2}$

A la izquierda tenemos un producto de binomios:

$4 (4x+5)(3x+1) = (7x + 5)^{2}$

A la derecha de nuevo un binomio de Newton, en este caso el cuadrado de una suma (cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo):

$4 (4x+5)(3x+1) = (7x)^{2} + (5)^{2} + 2\cdot 7x \cdot 5$

$4 (4x+5)(3x+1) = 49x^{2} + 25 + 70x$

Desarrollamos el producto de binomios de la parte izquierda:

$4 (12x^{2}+4x+15x+5) = 49x^{2} + 25 + 70x$

$48x^{2}+16x+60x+20 = 49x^{2} + 25 + 70x$

Ordenamos y sumamos:

$48x^{2}-49x^{2}+16x+60x-70x+20-25 =0$

$-x^{2}+6x-5 =0$

Tenemos una ecuación de segundo grado que resolvemos aplicando la fórmula general:

$x=\frac{-b\±\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Dónde a, b y c con los coeficientes y el término independiente de la ecuación:

$a=-1\\b=6\\c=-5$

Sustituimos y desarrollamos la formula:

$x=\frac{-6\±\sqrt{6^{2}-4\cdot (-1) \cdot (-5) } }{2\cdot (-1)}$

$x=\frac{-6\±\sqrt{36-20} }{-2}$

$x=\frac{-6\±\sqrt{16} }{-2}$

Obtenemos 2 soluciones:

$x_{1} =\frac{-6+4 }{-2} \;\;\;\;\;\;\;\; x_{2} =\frac{-6-4 }{-2}$

$x_{1} =\frac{-2 }{-2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x_{2} =\frac{-10 }{-2}$

$\boxed{x_{1} =1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \boxed{x_{2} =5}$