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División de un Segmento En Una Razón Dada – Ejemplos
Por: Carlos julián0 Comentarios
Durante nuestro estudio de la Geometría Analítica, nos vamos a encontrar con un método interesante para poder calcular las coordenadas de un punto P (o sea un punto cualquiera que llamamos “P”), que está dividido por un segmento cuyas extremidades son el P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón dada por la siguiente relación:
\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}
Hasta este punto puede ser confuso lo explicado, pero no es necesario enredarse con la definición. Mas abajo veremos la definición en una gráfica y nos daremos una mejor idea de lo que intentamos explicar, y ver como llevar a cabo el procedimiento para encontrar la fórmula de la división de un segmento en una razón dada , y poder resolver ejercicios sin dificultad alguna. Es necesario que para estudiar este tema se tenga idea de como despejar variables y conocimiento de álgebra.
Contenidos [Ocultar]
1 Obtención de la Fórmula de la División de un Segmento dada una Razón
2 Fórmula de la División de un Segmento en una Razón Dada
2.1 Fórmula del Punto Medio
3 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Obtención de la Fórmula de la División de un Segmento dada una Razón
Bien, analicemos entonces la siguiente gráfica.
Si sabemos que la razón está dada mediante la relación:
\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}
Vamos a proyectar las coordenadas de los puntos en los dos ejes. De la siguiente manera.
Bien, ahora tenemos las proyecciones en el eje de las abscisas “x”, con los puntos A, y sobre el eje de las ordenadas “y” para los puntos B. Estos nos servirán de referencia para poder obtener nuestra fórmula, entonces vamos a relacionar lo siguiente:
\displaystyle \frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{A}_{1}}A}{A{{A}_{2}}}
Ahora veamos las distancias dirigidas, ¿no recuerdas qué son?, puedes regresar al tema de Distancia entre Dos Puntos , si ya recuerdas que son, entonces es momento de aplicar dicho conocimiento, para relacionar lo siguiente:
\displaystyle {{A}_{1}}A=x-{{x}_{1}}
y hacemos lo mismo con el siguiente segmento de AA2
\displaystyle A{{A}_{2}}={{x}_{2}}-x
Perfecto, ahora podemos sustituir estos datos en la fórmula de la razón.
\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{A}_{1}}A}{A{{A}_{2}}}=\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-x}
Como “x” es la que estamos buscando, porque forma parte del punto del segmento, entonces procedemos a despejar. Si no recuerdas como despejar, recuerda Aprende a como despejar fórmulas
\displaystyle r=\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-x}
Procedemos a despejar:
\displaystyle r({{x}_{2}}-x)=x-{{x}_{1}}
Operamos lo del primer miembro
\displaystyle r{{x}_{2}}-rx=x-{{x}_{1}}
Acomodamos a las “x” en el primer miembro, quedando así:
\displaystyle -rx-x=-{{x}_{1}}-r{{x}_{2}}
Multiplicamos todo por (-1), para que se vuelvan positivos.
\displaystyle rx+x={{x}_{1}}+r{{x}_{2}}
Factorizamos a “x” en el primer miembro.
\displaystyle x(r+1)={{x}_{1}}+r{{x}_{2}}
Despejamos el monomio que está multiplicando a “x”, quedando así nada más la variable que necesitamos.
\displaystyle x=\frac{{{x}_{1}}+r{{x}_{2}}}{r+1}
Quedando así nuestra “x” despejada totalmente, ¡Solo que aplicaremos una condición!.
\displaystyle r\ne -1
nuestra razón no puede ser igual a (-1) porque esto nos haría indeterminado nuestra operación, y no está definida.
Para obtener “y”, hacemos exactamente el mismo cálculo y procedimiento.
\displaystyle r=\frac{{{P}_{1}}P}{P{{P}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}B}{B{{B}_{2}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-y}
\displaystyle r=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-y}
\displaystyle r({{y}_{2}}-y)=y-{{y}_{1}}
\displaystyle r{{y}_{2}}-ry=y-{{y}_{1}}
\displaystyle -ry-y=-{{y}_{1}}-r{{y}_{2}}
\displaystyle ry+y={{y}_{1}}+r{{y}_{2}}
\displaystyle y(r+1)={{y}_{1}}+r{{y}_{2}}
\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}+r{{y}_{2}}}{r+1}
La misma condición respecto a el valor que no puede obtener “r”
\displaystyle r\ne -1
Explicación paso a paso: