Question

con una lámina metalica de 40 metros cuadrados de área se desea construir una pirámide regular de base cuadrada. Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar las dimensiones de la base y altura de dicha pirámide pirámide para que su volumen sea máximo.

Answer 1

La pirámide tiene que tener 3,16 metros de lado en la base y 4,48 metros de altura para tener volumen máximo usando todo el material.

Explicación paso a paso:

El volumen de la pirámide de base cuadrada tiene como expresión:

$V=\frac{l^2.h}{3}$

Y su área lateral, en la cual vamos a suponer que se usa todo el material de la lámina, es:

$A=4\frac{l.Ap}{2}+l^2$

La apotema es:

$Ap=\sqrt{\frac{l^2}{4}+h^2}$

Con lo que la expresión del área queda:

$A=2l.\sqrt{\frac{l^2}{4}+h^2}}+l^2\\\\h=\frac{3V}{l^2}\\\\A=2l.\sqrt{\frac{l^2}{4}+(\frac{3V}{l^2})^2}}+l^2\\\\A=2l.\sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{9V^2}{l^4}}}+l^2\\\\A=2l.\sqrt{\frac{l^6+36V^2}{4l^4}}}+l^2\\\\A=\frac{2l}{2l^2}.\sqrt{l^6+36V^2}+l^2\\\\A-l^2=\frac{1}{l}.\sqrt{l^6+36V^2}\\\\(A-l^2)^2l^2=l^6+36V^2\\\\(A^2-2Al^2+l^4)l^2=l^6+36V^2\\\\A^2l^2-2Al^4+l^6=l^6+36V^2\\\\V=\sqrt{\frac{A^2l^2-2Al^4}{36}}=\frac{1}{6}\sqrt{A^2l^2-2Al^4}$

A esta expresión del volumen en función del lado de la base la derivamos e igualamos a cero para hallar el máximo:

$\frac{dV}{dl}=\frac{1}{6}\frac{2A^2l-8Al^3}{2\sqrt{A^2l^2-2Al^4}}\\\\2A^2l-8Al^3=0\\\\2A^2-8Al^2=0\\\\l=\sqrt{\frac{2A^2}{8A}}=\sqrt{\frac{A}{4}}=\sqrt{\frac{40}{4}}=3,16m$

De la expresión del área despejamos la altura de la pirámide:

$A=2l.\sqrt{\frac{l^2}{4}+h^2}}+l^2\\\\\frac{A-l^2}{2l}=\sqrt{\frac{l^2}{4}+h^2}}\\\\(\frac{A-l^2}{2l})^2=\frac{l^2}{4}+h^2}\\\\h=\sqrt{(\frac{A-l^2}{2l})^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{(\frac{40-3,16^2}{2.3,16})^2-\frac{3,16^2}{4}}\\\\h=4,48m$