Question

ACTIVIDADES

1. Dado un triángulo oblicuángulo, parea cada situación con la expresión

puede utilizarse para resolverla

)





=





( ) Calcular el lado a conociendo

las medidas de los ángulos A y B y

el lado b

)





=





( ) Calcular el ángulo B

conociendo las medidas de los

lados a, b, y c

)

2 =

2 +

2 − 2 ∙ ∙ ∙

( ) Calcular el valor de un

ángulo conociendo los otros dos

) + + = 180°

( ) Calcular el lado a conociendo

las medidas del lado c y de los

ángulos A y C.

2. Dados los siguientes datos sobre triángulos oblicuángulos, calcula los

elementos faltantes y distingue con cuál de los Teoremas debes

trabajar.

a) a = 60dm

b = 50dm

C = 78º 28´

b) c = 24,8 cm

B = 52º 21´

C = 29º 30´

c) a = 13 m

b = 4 m

c = 15 m

d) b = 31,5cm

A = 48º 25´

C = 61º 03'
3. Lee atentamente los enunciados de los problemas y teniendo en

cuenta los datos trabaja con los teoremas estudiados.

a) Dos móviles parten del mismo punto siguiendo cada uno trayectoria

recta, formando entre si un ángulo de 35°10´. Si el primer móvil recorre

3 km y el segundo móvil 8 km. ¿A qué distancias se encuentran

actualmente los móviles?

b) Un triángulo tiene lados 36cm y 38cm. El ángulo opuesto al lado menor

es de 46° 38’. Halla el ángulo opuesto al otro lado conocido​

Answer 1

1) Para hallar el lado 'a' conociendo los ángulos A y B se aplica el teorema del seno.

El ángulo B conociendo los tres lados se halla por el teorema del coseno:

Si se conocen dos ángulos, para hallar el tercero se aplica el teorema de los ángulos internos.

Para hallar el lado 'a' conociendo los ángulos A y C y el lado c se aplica el teorema del seno.

2)  a) El lado c mide 70dm y los ángulos faltantes son A=44°25' y B=57°7'

b) Los lados a y b miden respectivamente 49,9cm y 39,9cm mientras que es A=98°9'.

c) Los ángulos son A=36°52', B=75°45' y C=112°37'.

d) los lados faltantes son a=25cm y b=29,2cm y el ángulo faltante es B=50°7'.

3) a) Los móviles se encuentran entre sí a 5,81km

b) El ángulo opuesto al lado mayor es de 43°32'

Explicación paso a paso:

1) Un triángulo oblicuángulo es aquel en el cual ninguno de los ángulos es recto.

Para calcular el lado 'a' conociendo las medidas de los ángulos 'A' y 'B' y el lado b podemos aplicar el teorema del seno y luego despejar 'a':

$\frac{a}{sen(A)}=\frac{b}{sen(B)}\\\\a=b\frac{sen(A)}{sen(B)}$

Para hallar el valor del ángulo B conociendo las medidas de los lados a, b y c tenemos el teorema del  coseno considerando que B es el ángulo opuesto al lado b. Por ende B es el ángulo que forman los lados a y c:

$b^2=a^2+c^2-2ac.cos(B)\\\\b^2-a^2-c^2=-2ac.cos(B)\\\\cos(B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\\B=cos^{-1}(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})$

En todo triángulo la suma de los ángulos internos es 180°, por ende para hallar el valor de un ángulo conociendo los otros dos podemos plantear la ecuación α+b+ω=180° y despejar el ángulo desconocido.

Para hallar el lado 'a' conociendo c y los ángulos A y C aplicamos el teorema del seno:

$\frac{a}{cos(A)}=\frac{c}{cos(C)}\\\\a=c\frac{cos(A)}{cos(C)}$

2) a) En este caso se trabaja con el teorema del coseno para hallar el lado c:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab.cos(C)}=\sqrt{(60dm)^2+(50dm)^2-2.60.50.cos(78\°28')}\\\\c=70dm$

Luego aplicamos el teorema del seno para hallar los otros dos ángulos:

$\frac{c}{sen(C)}=\frac{b}{sen(B)}=>sen(B)=\frac{b}{c}sen(C)=\frac{50}{70}.sen(78\°28')\\\\B=sen^{-1}(\frac{50}{70}.sen(78\°28'))\\\\B=44\°25'$

$\frac{c}{sen(C)}=\frac{a}{sen(A)}=>sen(A)=\frac{a}{c}sen(C)=\frac{60}{70}.sen(78\°28')\\\\A=sen^{-1}(\frac{60}{70}.sen(78\°28'))\\\\B=57\°7'$

b) En este caso podemos aplicar el teorema de los ángulos internos para hallar al ángulo A:

$A=180\°-B-C=180\°-52\°21'-29\°30'\\\\A=98\°9'$

Con el valor de los tres ángulos podemos hallar los lados a y b aplicando teorema del seno:

$\frac{a}{sen(A)}=\frac{c}{sen(C)}\\\\a=c\frac{sen(A)}{sen(C)}=24,8cm\frac{sen(98\°9')}{sen(29\°30')}\\\\a=49,9cm\\\\\frac{b}{sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}\\\\b=c\frac{sen(B)}{sen(C)}=24,8cm\frac{sen(52\°21')}{sen(29\°30')}\\\\b=39,9cm$

c) Con los 3 lados podemos hallar mediante el teorema del coseno los 3 ángulos:

$c^2=a^2+b^2-2ab.cos(C)\\\\C=cos^{-1}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=cos^{-1}\frac{13^2+4^2-15^2}{2.13.4}\\\\C=112\°37'\\\\A=cos^{-1}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cos^{-1}(\frac{4^2+15^2-13^2}{2.4.15})\\\\A=36\°52'\\\\B=cos^{-1}\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cos^{-1}(\frac{13^2+15^2-4^2}{2.13.15})\\\\B=75\°45'$

d) Podemos aplicar el teorema de los ángulos internos para hallar el ángulo B:

$B=180\°-48\°25'-61\°3'=70\°32'$

Luego mediante el teorema del seno hallamos los ángulos a y c:

$\frac{b}{sen(B)}=\frac{a}{sen(A)}=>a=b\frac{sen(A)}{sen(B)}=a=31,5\frac{sen(48\°25')}{sen(70\°32')}\\\\a=25cm\\\\\frac{b}{sen(B)}=\frac{c}{sen(C)}=>c=b\frac{sen(C)}{sen(B)}=a=31,5\frac{sen(61\°3')}{sen(70\°32')}\\\\a=29,2cm$

3) a) La distancia entre los dos móviles la podemos hallar mediante el teorema del coseno ya que la recta imaginaria que los une es el lado opuesto al ángulo que forman:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab.cos(C)}=\sqrt{8^2+3^2-2.3.8.cos(35\°10')}\\\\c=5,81km$

b) Podemos aplicar el teorema del seno para hallar el ángulo opuesto al otro lado conocido:

$\frac{a}{sen(A)}=\frac{b}{sen(B)}\\\\\\sen(B)=\frac{b}{a}sen(A)=\frac{38}{36}.sen(46\°38')\\\\sen(B)=0,6887\\\\B=sen^{-1}(0,6887)=50\°7'$