alguien q me ayude porfa necesito por el sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación gaussiano siiii soy novata y no puedo o un ejemplo como resolver
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
2x + 3y = 4
-2x - y - 2z = -5
x - z = 3
Forma la matriz ampliada o llamada también matriz aumentada
| 2 3 0 | 4 | fila 1
| -2 -1 -2 | -5 | fila 2
| 1 0 -1 | 3 | fila 3
Las tres primeras columnas (números verticales), son los
coeficientes de las variables, cuando no hay se pone cero.
La cuarta columna es la columna de constantes.
Se hacen operaciones aritméticas para llegar a una matriz diagonal.
Suma a la fila 2, la fila 1.
| 2 3 0 | 4 |
| 0 2 -2 | 1 |
| 1 0 -1 | 3 |
Como ves las otras filas se mantienen igual. estas operaciones
no varían el sistema.
Fila 1 menos dos veces fila 3
| 0 3 2 | -2 |
| 0 2 -2 | 1 |
| 1 0 -1 | 3 |
suma a la fila 1, la fila 2
| 0 5 0 | -1 |
| 0 2 -2 | 1 |
| 1 0 -1 | 3 |
Intercambia lugares, la fila 1 por la fila 3
| 1 0 -1 | 3 |
| 0 2 -2 | 1 |
| 0 5 0 | -1 |
multiplica por 1/5 la fila 3
| 1 0 -1 | 3 |
| 0 2 -2 | 1 |
| 0 1 0 | -1/5 |
Resta a la fila 2 dos veces la fila 3
| 1 0 -1 | 3 |
| 0 0 -2 | 1+2/5 |
| 0 1 0 | - 1/5 |
(-1/2)x fila 2
| 1 0 -1 | 3 |
| 0 0 1 | -7/10 |
| 0 1 0 | - 1/5 |
fila 1+fila 2
| 1 0 0 | 3-7/10 |
| 0 0 1 | -7/10 |
| 0 1 0 | - 1/5 |
fila 2 x fila 3 (intercambio)
| 1 0 0 | 23/10 |
| 0 1 0 | - 1/5 |
| 0 0 1 | -7/10 |
x = 23/10
y = -1/5
z = -7/10
Comprobación
Reemplaza valores, en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales
por ejemplo en la 3era y - z = 3
23/10 - (-7/10)
23/10 + 7/10
30/10
3 cumple, la solución esta correcta.
******
3x + 3y = 5,6
2x + 3y + 2z = 8,4
2y + 3z = 6,5
Matriz de coeficientes A
| 3 3 0 |
| 2 3 2 |
| 0 2 3 |
Matriz ampliada (A|B)
| 3 3 0 | 5,6 |
| 2 3 2 | 8,4 |
| 0 2 3 | 6,5 |
Ecuación matricial AX = B
donde
| x |
X = | y |
| z |
es la matriz de variables
Aplica operaciones elementales(así se llaman)
| 1 0 -2 | -2,8 | f1 - f2
| 2 3 2 | 8,4 |
| 0 2 3 | 6,5 |
| 1 0 -2 | -2,8 |
| 2 1 -1 | 1,9 | f2 - f3
| 0 2 3 | 6,5 |
| 1 0 -2 | -2,8 |
| 2 1 -1 | 1,9 |
| 0 1 3/2 | 3,25 | (1/2)*f3
| 1 0 -2 | -2,8 |
| 0 1 3 | 7,5 | f2 - 2*f1
| 0 1 3/2 | 3,25 |
| 1 0 -2 | - 2,8 |
| 0 1 3 | 7,5 |
| 0 0 -3/2 | -4,25 | f3 - f2
| 1 0 -2 | - 2,8 |
| 0 1 3 | 7,5 |
| 0 0 1 | 2,8 | (-2/3)*f3
| 1 0 -2 | - 2,8 | f1 + 2*f3
| 0 1 3 | 7,5 | f2 - 3*f3
| 0 0 1 | 2,8 |
| 1 0 0 | 2,8 |
| 0 1 0 | - 0,9 |
| 0 0 1 | 2,8 |
x = 2,8
y = - 0,9
z = 2,8
Comprobación en 2y + 3z = 6,5
2(-0,9) + 3(2,8)
6,6 ≈ 6,5
Esta bien
***
x + 2y + 3z = 2
-x + 4y + z = 1,4 por 5 => -5x + 20y + 5z = 7
x + y + z = 0,5 por 2 => 2x + 2y +2z = 1
Matriz ampliada
| 1 2 3 | 2 |
| -5 20 5 | 7 |
| 2 2 2 | 1 |
| 1 2 3 | 2 |
| 0 30 20 | 17 | f2 + 5*f1
| 0 -2 -4 | -3 | f3 - 2*f1
| 1 0 -1 | - 1 | f1 + f3
| 0 0 -40 | -28 | f2 + 15*f3
| 0 -2 -4 | - 3 |
| 1 0 -1 | - 1 |
| 0 0 1 | 0,7 | (-1/40)*f2
| 0 -2 -4 | - 3 |
| 1 0 0 | -0,3 | f1 + f2
| 0 0 1 | 0,7 |
| 0 -2 0 | -0,2 | f3 + 4*f2
| 1 0 0 | -0,3|
| 0 0 1 | 0,7 |
| 0 1 0 | 0,1 | (-1/2)*f3
| 1 0 0 | -0,3|
| 0 1 0 | 0,1 |
| 0 0 1 | 0,7 |
x = - 0,3
y = 0,1
z = 0,7
Comprobación x+2x+3z = 2
-0,3 + 2(0,1) + 3(0,7)
-0,3 + 0,2 + 2,1
2
La solución esta bien.