Question

ayuden en este ejercicio
con resolución porfavor​

Answer 1

Hola :D

Se tiene la función:

$f(x)=72x-2x^{3}+12x^{2}$

Para hallar los máximos y mínimos, debemos derivar e igualar a $0$, para ello recordemos la siguiente regla de derivación:

$\boxed{\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1} }$

Aplicando:

$\dfrac{df(x)}{dx}=72\dfrac{d}{dx}(x) -2\dfrac{d}{dx}(x^{3}) +12\dfrac{d}{dx}(x^{2})\\ \dfrac{df(x)}{dx}=72(1)-2(3x^{2})+12(2x) \\ \dfrac{df(x)}{dx}=\underbrace{72-6x^{2} +24x=0}_{\texttt{Ecuacion cuadratica}}$

Acomodando correctamente tendremos:

$-6x^{2}+24x+72=0$

¿Es necesario usar la fórmula cuadrática?

No, ya que si bien es cierto, son números muy grandes, siempre debemos ver si se pueden factorizar, por ejemplo, hay un factor común entre los términos, es $6$, por que tendremos:

$6(-x^{2} +4x+12)=0$

Luego, $x$ no se acostumbra tenerlo negativo, por lo que sacamos el factor común $-1$:

$6(-1)(x^{2} -4x-12)=0\\ -6(x^{2} -4x-12)=0$

Ahora, encontramos $2$ números que al multiplicarse nos $-12$, y sumados $-4$, dichos números son: $-6$ y $2$, entonces:

$-6(x-6)(x+2)=0\to \texttt{Igualas a 0 los factores:}\\ x_{1}-6=0\Rightarrow \boldsymbol{x_{1}=6}\\ x_{2}+2=0\Rightarrow \boldsymbol{x_{2}=-2 }$

Ya tenemos nuestros puntos, ahora, para saber lo pedido se aplica el criterio de la segunda derivada, del cual tendremos lo siguiente:

$\clubsuit \: \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} }=+\to \texttt{Minimo}\\ \clubsuit \: \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =-\to \texttt{Maximo}$

Entonces, partiendo de:

$\dfrac{df(x)}{dx}= 72-6x^{2} +24x=0$

Tendremos:

$\dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} }=\dfrac{d}{dx}(72)-6\dfrac{d}{dx}(x^{2})+24\dfrac{d}{dx}(x) \\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =-6(2x)+24(1)\\ \boxed{\frac{d^{2}f(x) }{dx^{2} }=-12x+24 }$

Ahora, sustituimos los valores obtenidos:

$\spadesuit \: x=-2\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =-12(-2)+24\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =24+24\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } = \boldsymbol{+}48 \\ \Rightarrow \boxed{\boxed{\texttt{Es un Minimo}}}$

$\spadesuit \: x=6\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =-12(6)+24\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =-72+24\\ \dfrac{d^{2}f(x) }{dx^{2} } =\boldsymbol{-}48\\ \Rightarrow \boxed{\boxed{\texttt{Es un Maximo}}}$

Con esto en mente, podemos encontrar las coordenadas, lo cual es sencillo, ya que sólo debemos sustituir:

$\blacklozenge f(-2)=72(-2)-2(-2)^{3}+12(-2)^{2} \\ f(-2)=-80\\ \blacklozenge f(6)=72(6)-2(6)^{3}+12(6)^{2} \\ f(6)=432$

Finalmente:

$\boxed{\underbrace{(-2,-80)}_{\texttt{Minimo}};\: \underbrace{(6,432)}_{\texttt{Maximo}} }$