Sumas de Riemann
1. Aproxime la integral definida ∫_2^5(x2-4x+4)dx, mediante la suma de Riemann del punto derecho, con =6. 2. Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para =6, =14 y compara con el resultado de la integral definida. 3. Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. 4. ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
Respuestas
Respuesta:
. Calcular las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:
a) f(x) = [x] en [0, n], con n ∈ N.
b) f(x) = [x]
2 en [0, n], con n ∈ N.
c) f(x) = [x
2
] en [0, 2].
d) f(x) = [√
x] en [0, 9].
e) f(x) = [e
x
] en [0, 2].
Soluci´on
a) Como f(x) = k cuando x ∈ [k, k + 1), donde k = 0, 1, . . . , n − 1, se trata de una funci´on
escalonada. Por tanto, su integral vale:
Z n
0
[x] dx =
nX−1
k=0
k · 1 = 1 + 2 + · · · + (n − 1) = n(n − 1)
2
.
b) An´alogamente al caso anterior, tenemos una funci´on escalonada que toma los valores f(x) =
k
2
en los intervalos x ∈ [k, k + 1), con k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces,
Z n
0
[x]
2
dx =
nX−1
k=0
k
2 = 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 =
n(n − 1)(2n − 1)
6
,
resultado que se puede probar por inducci´on (ver cap´ıtulo 1).
c) En primer lugar debemos determinar los sub-intervalos de [0, 2] donde la funci´on es constante.
Estos son los siguientes:
0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤ x
2 < 1 =⇒ [x
2
] = 0;
1 ≤ x < √
2 =⇒ 1 ≤ x
2 < 2 =⇒ [x
2
] = 1;
√
2 ≤ x < √
3 =⇒ 2 ≤ x < 3 =⇒ [x
2
] = 2;
√
3 ≤ x < 2 =⇒ 3 ≤ x
2 < 4 =⇒ [x
2
] = 3.
La integral se puede descomponer entonces en la suma siguiente:
Z 2
0
[x
2
] dx = 1 · (
√
2 − 1) + 2 · (
√
3 −
√
2) + 3 · (2 −
√
3) = 5 −
√
2 −
√
3. ) Descomponemos nuevamente el intervalo de integraci´on en sub-intervalos donde la funci´on
sea constante:
0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤
√
x < 1 =⇒ [
√
x] = 0;
1 ≤ x < 4 =⇒ 1 ≤
√
x < 2 =⇒ [
√
x] = 1;
4 ≤ x < 9 =⇒ 2 ≤
√
x < 3 =⇒ [
√
x] = 2.
La integral es ahora
Z 3
0
[
√
x] dx = 1 · (4 − 1) + 2 · (9 − 4) = 13.
e) Como es tambi´en una funci´on parte entera, es escalonada; los intervalos donde es constante
son los siguientes:
0 ≤ x < ln 2 =⇒ 1 ≤ e
x < 2 =⇒ [e
x
] = 1;
ln 2 ≤ x < ln 3 =⇒ 2 ≤ e
x < 3 =⇒ [e
x
] = 2;
ln 3 ≤ x < ln 4 =⇒ 3 ≤ e
x < 4 =⇒ [e
x
] = 3;
.
.
.
ln 7 ≤ x < 2 =⇒ 7 ≤ e
x < e2 =⇒ [e
x
] = 7.
(T´engase en cuenta que el intervalo de integraci´on es [0, 2] y ln 7 < 2 < ln 8.)
La integral es la siguiente:
Z 2
0
[e
x
] dx =
X
6
k=1
k · [ln(k + 1) − ln k] + 7 · (2 − ln 7)
= 6 · ln 7 − ln 6 − ln 5 − · · · − ln 2 + 14 − 7 · ln 7 = 14 − ln(7!).
2. Calcular la integral Z b
a
|x|
x
dx, donde a < b.
Soluci´on
La funci´on integrando es escalonada porque |x|
x
=
(
1 si x > 0
−1 si x < 0
. Podemos distinguir tres casos:
i) a < b ≤ 0: Z b
a
|x|
x
dx = (−1) · (b − a) = a − b.
ii) a < 0 ≤ b: descomponemos la integral en dos sumandos. As´ı:
Z b
a
|x|
x
dx =
Z 0
a
|x|
x
dx +
Z b
0
|x|
x
dx = (−1) · (0 − a) + 1 · (b − 0) = a + b.
iii) 0 ≤ a < b:
Z b
a
|x|
x
dx = 1 · (b − a) = b − a.
3. Hallar I(f, P) y S(f, P) en los siguientes casos:
a) f(x) = √
x, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/25, 4/25, 9/25, 16/25,b) f(x) = x
2
, x ∈ [−1, 1], P = {−1, −1/4, 1/4, 1/2, 1}.
Soluci´on
a) Como la funci´on es creciente, el ´ınfimo se alcanza en el extremo izquierdo y el supremo en
el extremo derecho de cada subintervalo de P. De esta forma,
I(f, P) = 1/25 · f(0) + (4/25 − 1/25) · f(1/25) + (9/25 − 4/25) · f(4/25)
+(16/25 − 9/25) · f(9/25) + (1 − 16/25) · f(16/25)
= 3/25 · 1/5 + 5/25 · 2/5 + 7/25 · 3/5 + 9/25 · 4/5 = 14/25;
S(f, P) = 1/25 · f(1/25) + (4/25 − 1/25) · f(4/25) + (9/25 − 4/25) · f(9/25)
+(16/25 − 9/25) · f(16/25) + (1 − 16/25) · f(1)
= 1/25 · 1/5 + 3/25 · 2/5 + 5/25 · 3/5 + 7/25 · 4/5 + 9/25 · 1 = 19/25.
b) La funci´on y = x
2
es decreciente cuando x ∈ (−1, 0) y creciente cuando x ∈ (0, 1). Adem´as
en el intervalo (−1/4, 1/4), el ´ınfimo de la funci´on se alcanza cuando x = 0 y el supremo
cuando x = 1/4. Por tanto, en este caso tenemos:
I(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1/4) + (1/4 + 1/4) · f(0) + (1/2 − 1/4) · f(1/4)
+(1 − 1/2) · f(1/2)
= 3/4 · 1/16 + 1/2 · 0 + 1/4 · 1/16 + 1/2 · 1/4 = 3/16;
S(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1) + (1/4 + 1/4) · f(1/4) + (1/2 − 1/4) · f(1/2)
+(1 − 1/2) · f(1) = 3/4 · 1 + 1/2 · 1/16 + 1/4 · 1/4 + 1/2 · 1 = 43/32.
Como se puede observar, en ambos casos se verifica que I(f, P) ≤ S(f, P), lo cual es siempre
cierto.
4. Dada la funci´on f(x) = 1 + 2x, si P = {x0, x1, . . . , xn} es una partici´on regular de [a, b],
calcular I(f, P) y S(f, P). Utilizar lo anterior para calcular Z b
a
(1 + 2x) dx.
Soluci´on
Como la funci´on y = 1 + 2x es creciente, el ´ınfimo en cada subintervalo (xi−1, xi) se alcanza en
xi−1 y el supremo se alcanza en xi
. Adem´as, por tratarse de una partici´on regular, los puntos
son equidistantes y
xi − xi−1 =
b − a
n
, xi = a + i
b − a
n
, ∀i = 1, . . . , n. De este modo, por definici´on:
I(f, P) = Xn
i=1
(xi − xi−1) · f(xi−1) = Xn
i=1
b − a
n
· (1 + 2xi−1)
=
b − a
n
Xn
i=1
1 + 2Xn
i=1
a + (i − 1) ·
b − a
n
!
=
b − a
n
n + 2an + 2
b − a
n
Xn
i=1
(i − 1)!
= (b − a) + 2a(b − a) + 2
b − a
n
2
·
n(n − 1)
2
= (b − a)
1 + 2a +
(b − a)(n − 1)
n
S(f, P) = Xn
i=1
(xi − xi−1) · f(xi) = Xn
i=1
b − a
n
· (1 + 2xi)
=
b − a
n
Xn
i=1
1 + 2Xn
i=1
a + i ·
b − a
n
!
=
b − a
n
n + 2an + 2
b − a
n
Xn
i=1
i
!
= (b − a) + 2a(b − a) + 2
b − a
n
2
·
n(n + 1)
2
= (b − a)
1 + 2a +
(b − a)(n + 1)
n
creo que es así
espero que sirva no