Respuestas
En álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n × n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado.1
Un número natural n elevado al cuadrado se puede linealizar por medio de la siguiente expresión:
{\displaystyle n^{2}=\sum _{i=1}^{n}{(2i-1)}}{\displaystyle n^{2}=\sum _{i=1}^{n}{(2i-1)}}
Así por ejemplo:
{\displaystyle 3^{2}=\sum _{i=1}^{3}{(2i-1)}=1+3+5=9}{\displaystyle 3^{2}=\sum _{i=1}^{3}{(2i-1)}=1+3+5=9}
Con el mismo resultado que la multiplicación:
{\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}{\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}
Propiedades
Un número primo de la forma {\displaystyle 4k+1}{\displaystyle 4k+1} se puede expresar como la suma de dos cuadrados
{\displaystyle 4k+1=m^{2}+n^{2}}{\displaystyle 4k+1=m^{2}+n^{2}}
Como ejemplos: 17 es la suma de 1 y 16; lo mismo que 37 es la suma de 36 y 1.
Un cuadrado par se puede expresar como la suma de dos impares consecutivos. Pues si cumple la condición cabe {\displaystyle P=4n^{2}}{\displaystyle P=4n^{2}} y se plantea la ecuación
{\displaystyle P=(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)}{\displaystyle P=(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)}
donde cada sumando es impar y estos impares son consecutivos .
Los babilonios para la multiplicación : {\displaystyle a\times b}{\displaystyle a\times b} usaban la fórmula
{\displaystyle P={\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}],}{\displaystyle P={\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}],}
pues ellos disponían tablas de cuadrados.2
Ya la tiene bro