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Respuesta:
Sumando y Restando Polinomios
Objetivos de Aprendizaje
· Sumar polinomios.
· Encontrar el opuesto de un polinomio.
· Restar polinomios.
Introducción
Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero no es tan diferente de la sumas y las restas que haces a diario. La estrategia principal es buscar y combinar términos semejantes.
Sumando Polinomios
Puedes sumar dos (o más) polinomios de la misma manera que sumas expresiones algebraicas. Puedes eliminar los paréntesis y combinar los términos semejantes.
Ejemplo
Problema
Sumar. (3b + 5) + (2b + 4)
(3b + 2b) + (5 + 4)
Reagrupa usando la propiedad conmutativa de la suma y la propiedad asociativa de la suma.
5b + 9
Combina términos semejantes.
Respuesta
(3b + 5) + (2b + 4) = 5b + 9
Ejemplo
Problema
Un jardín rectangular tiene un lado con longitud x + 7 y otro con longitud 2x + 3. Encuentra el perímetro del jardín.
(x + 7) + (2x + 3) + (x + 7) + (2x + 3)
El perímetro de un rectángulo es la suma de las longitudes de sus lados.
(x + 2x + x + 2x) + (7 + 3 + 7 + 3)
Reagrupa por términos semejantes usando las propiedades conmutativa y asociativa.
6x + 20
Suma términos semejantes.
Respuesta
El perímetro es 6x + 20.
El procedimiento es el mismo cuando sumas polinomios que contienen coeficientes negativos o resta:
Ejemplo
Problema
Sumar. (-5x2 – 10x + 2) + (3x2 + 7x – 4)
-5x2 + (-10x) + 2 + 3x2 + 7x + (-4)
Reescribe la resta como la suma de los opuestos.
(-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) + (2 – 4)
Reagrupa usando las propiedades conmutativa y asociativa.
-2x2 + (-3x) + (-2)
Combina términos semejantes.
Respuesta
(−5x2 – 10x + 2) + (3x2 + 7x – 4) = −2x2 – 3x – 2
Los ejemplos anteriores muestran la suma horizontal de polinomios, al leer de izquierda a derecha en la misma línea. A algunas personas les gusta organizar su trabajo de manera vertical, porque se les hace más fácil asegurarse que están combinando los términos semejantes. El ejemplo siguiente muestra este método “vertical” de sumar polinomios.
Ejemplo
Problema
Sumar. (3x2 + 2x – 7) + (7x2 – 4x + 8)
3x2
+
2x
–
7
+
7x2
–
4x
+
8
Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos semejantes.
3x2
+
2x
–
7
+
7x2
–
4x
+
8
10x2
–
2x
+
1
Combina los términos semejantes, poniendo atención en los signos.
Respuesta
(3x2 + 2x – 7) + (7x2 – 4x + 8) = 10x2 – 2x + 1
Algunas veces en un arreglo vertical, puedes alinear cada término debajo de su homólogo, como en el ejemplo anterior. Pero algunas veces no resulta tan ordenado. Cuando no hay un término semejante correspondiente para cada término, habrá espacios vacíos en el arreglo vertical.
Ejemplo
Problema
Sumar. (4x3 + 5x2 – 6x + 2) + (−4x2 + 10)
4x3
+
5x2
–
6x
+
2
+
−4x2
+
10
Escribe un polinomio debajo del otro, alineando los términos semejantes.
Deja un espacio en blanco encima o debajo de cada término que no tiene correspondiente.
4x3
+
5x2
–
6x
+
2
+
-4x2
+
10
4x3
+
x2
–
6x
+
12
Combina los términos semejantes, poniendo atención en los signos.
Respuesta
(4x3 + 5x2 – 6x + 2) + (−4x2 + 10) = 4x3 + x2 – 6x + 12
Encuentra la suma.
(4a2 + 5a + 7) + (8a + 2)
A) 9a2 + 8a + 9
B) 16a2 + 10a
C) 12a2 + 5a + 9
D) 4a2 + 13a + 9
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Encontrando el Opuesto de un Polinomio
Cuando restas polinomios, estás sumando el opuesto, como lo has hecho con los números reales. Entonces ¿cómo encuentras el opuesto de un polinomio? Recuerda que el opuesto de 3 es −3, y el opuesto de −3 es 3. Así como encontramos el opuesto de un número multiplicándolo por −1, podemos encontrar el opuesto de un polinomio multiplicándolo por −1.
Ejemplo
Problema
Encontrar el opuesto de 9x2 + 10x + 5.
(−1)(9x2 + 10x + 5)
Encuentra el opuesto multiplicando por −1.
(−1)9x2 + (−1)10x + (−1)5
Distribuye el −1 a cada término del polinomio.
−9x2 + (-10x) + (−5)
Multiplica por −1 cada coeficiente.
Respuesta
El opuesto de 9x2 + 10x + 5 es −9x2 – 10x – 5.
Reescribe la suma de un término negativo como una resta.
Ten cuidado cuando ya hay valores negativos o restas en el polinomio.
Ejemplo
Problema
Encontrar el opuesto de 3p2 – 5p + 7.
(-1)(3p2 – 5p + 7)
Encuentra el opuesto multiplicando por −1.
(-1)[3p2 + (-5)p + 7]
Cambia la resta a la suma del opuesto.
(-1)3p2 + (-1)(-5)p + (-1)7
Distribuye -1 a cada término en el polinomio y multiplica cada coeficiente por -1.
-3p2 + 5p + (-7)
Reescribe la suma de un término negativo como una resta.
Respuesta
El opuesto de 3p2 – 5p + 7 es −3p2 + 5p – 7.
Observa que al encontrar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término en el polinomio.
Encuentra el opuesto del polinomio.
8a3 – 3a – 2
A) -8a3 – 3a – 2
B) 8a3 + 3a – 2
C) 8a3 + 3a + 2
D) -8a3 + 3a + 2