Question

En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo.

Answer 1

Respuesta:

Un Triángulo Rectángulo se caracteriza por tener un ángulo Recto, es decir de noventa grados (90°) que une los dos catetos y es opuesto a la hipotenusa, el producto del Seno de un ángulo cualquiera por su reciproco (Secante) da como resultado UNO (1).

Para el caso de que uno de los catetos tenga una medida del doble que la del otro se tiene que el valor de la hipotenusa se obtiene mediante el Teorema de Pitágoras.

h = √(x)² + (2x)²

Resolviendo:

h = √x² + 4x²

h = √5x²

h = x√5

Para hallar el valor de los ángulos se plantea la Ley de los Senos.

x√5/Sen 90° = 2x/Sen α = x/Sen β

El ángulo agudo de mayor magnitud es el opuesto a lado mas largo, que en este caso es “α”.

Por lo que el Seno de α es:

Sen α = Cateto Opuesto/Hipotenusa

Sen α = 2x/x√5

Sen α = 2/√5

La Secante de ese mismo ángulo es:

Sec α = 1/Sen α

En cualquier caso, al multiplicarse un valor por su reciproco o inverso el resultado es la Unidad (1).

De modo que la respuesta para la multiplicación del Seno del ángulo por la Secante del mismo ángulo el resultado es Uno (1).

Answer 2

La secante del mayor ángulo agudo del triángulo rectángulo es:

                                      $\text{sec}\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Para resolver este problema seguimos el siguiente procedimiento:

1. Calculamos la hipotenusa en función de los catetos.
2. Identificamos el mayor ángulo agudo.
3. Calculamos el coseno del mayor ángulo agudo.
4. Calculamos la secante del mayor ángulo agudo.

A continuación te explicamos el procedimiento.

• Paso 1: calculo de la hipotenusa:

En la figura se muestra el triángulo rectángulo, al cateto más pequeño se le llamó x, al mayor 2x, por medio del Teorema de Pitágoras se determina la hipotenusa:

Datos

Cateto menor = x

Cateto mayor = 2x

                                    $h = \sqrt{x^2+(2x)^2} \\\\h = \sqrt{x^2+4x^2}\\\\h = \sqrt{5x^2}\\\\h=\sqrt{5} x$

• Paso 2: identificación del ángulo agudo mayor:

Los ángulos agudos son α y β. El mayor ángulo es el que está opuesto al mayor cateto (2x):

ángulo agudo mayor = α

• Paso 3: cálculo del coseno del ángulo agudo mayor:

Usando la ecuación del coseno:

                                 $\text{cos}\alpha=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \\\\\text{cos}\alpha=\frac{2x}{h} \\\\\text{cos}\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5} x } \\\\\text{cos}\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$

• Paso 4: cálculo de la secante del ángulo agudo mayor:

Usando la ecuación de la secante:

                                 $\text{sec}\alpha=\frac{1}{\text{cos}\alpha} \\\\\text{sec}\alpha=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{5}}} \\\\\text{sec}\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}$

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