Question

quien sabe hacer demostraciones de topologia

Answer 1

La Topología es una de las ramas de las matemáticas más interesantes y a la vez más complicadas de entender. Para la demostración que nos ocupa hacen falta algunos conceptos básicos relacionados con ella que pueden encontrarse en este artículo de la Wikipedia (en español). Aquí simplemente voy a dar la definición de topología sobre un conjunto:

Definición: Sea  un conjunto y  el conjunto de sus subconjuntos (es decir, partes de). Una topología sobre  es un conjunto  que cumple las siguientes propiedades:

Si , entonces Si , entonces 

Los elementos de una topología  se denominan abiertos. El complemento de un conjunto abierto (es decir, el resultado de quitar del conjunto base  el abierto) se denomina cerrado.

Vamos con la demostración:

Teorema: El conjunto de los números primos es infinito.

Demostración:

Definimos sobre el conjunto  de los números enteros la siguiente topología :

Un subconjunto  de  es abierto (es decir, elemento de ) si y sólo si es el conjunto vacío o es unión de progresiones aritméticas

En otras palabras,  es abierto si y sólo si cada  admite algún entero distinto de cero  tal que .

Vamos a comprobar que  es una topología sobre :

Por definición, . Por otra parte, , por lo que también es abierto, es decir, .Si , sea  y  sus acompañantes en las correspondientes progresiones en  y  respectivamente. Sea el mínimo común múltiplo de  y. Entonces, para , .