Del gráfico, efectúe R = sen cuadrado de alfa + cos cuadrado de alfa
C) 2
A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
con resolucion porfavor
Respuestas
Respuesta:
En todos los ítems se usan identidades trigonométricas para expresar las ecuaciones en términos de una sola expresión trigonométrica y se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado. Específicamente, factores comunes, binomios con términos semejantes, diferencias de cuadrados y la resolvente o fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado.
Explicación paso a paso:
a. 4 - Sen(x) = 4Cos²(x)
Expresemos todo en Sen(x)
4 - Sen(x) = 4Cos²(x) ⇒ 4 - Sen(x) = 4[1 - Sen²(x)] ⇒
Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces:
4Sen²(x) - Sen(x) = 0 ⇒ Sen(x)[4Sen(x) - 1] = 0
Por tanto
Sen(x) = 0 ∨ Sen(x) = 1/4
Las raíces son: x = 0° ∧ x = 14,5°
b. Sen²(x) + Cos(x) + 1 = 0
Expresemos todo en Cos(x)
Sen²(x) + Cos(x) + 1 = 0 ⇒ 1 - Cos²(x) + Cos(x) + 1 = 0 ⇒
Cos²(x) - Cos(x) - 2 = 0
Usamos la técnica de binomios con término semejante:
(x ± a)(x ± b) donde,
El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.
a y b son dos números que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.
En el caso que nos ocupa:
Signo en el primer factor = -
Signo en el segundo factor = (-)(-) = +
a = (-2) + (1) = -1
b = (1)(-2) = -2
Por tanto
[Cos(x) - 2][Cos(x) + 1] = 0
Cos(x) = 2 (imposible) ∨ Cos(x) = -1
La raíz es: x = 180°
c. 5 - 5Cos(x) = 3Sen²(x)
Expresemos todo en Cos(x)
5 - 5Cos(x) = 3Sen²(x) ⇒ 5 - 5Cos(x) = 3[1 - Cos²(x)] ⇒ 3Cos²(x) - 5Cos(x) + 2 = 0
Vamos a aplicar la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado:
Sea la ecuación ±ax² ± bx ± c = 0 entonces,
En el caso que nos ocupa:
a = 3 b = -5 c = 2
Sustituyendo en la fórmula
Por tanto
Cos(x) = 1 ∨ Cos(x) = 2/3
Las raíces son: x = 0° ∧ x = 48,2°
d. 8Tg(x) = 3Cos(x)
Expresemos todo en Sen(x)
8Tg(x) = 3Cos(x) ⇒ 8[Sen(x)/Cos(x)] = 3Cos(x) ⇒ Sen(x) = 3Cos²(x) ⇒ 8Sen(x) = 3[1 - Sen²(x)] ⇒
3Sen²(x) + 8Sen(x) - 3 = 0
Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces:
4Sen²(x) - Sen(x) = 0 ⇒ Sen(x)[4Sen(x) - 1] = 0
Vamos a seguir el procedimiento en c.
a = 3 b = 8 c = -3
Sustituyendo en la fórmula
Por tanto
Sen(x) = -3 (imposible) ∨ Sen(x) = 1/3
La raíz es: x = 19,5°
e. Sen²(x) + 5Cos²(x) = 3
Expresemos todo en Cos(x)
Sen²(x) + 5Cos²(x) = 3 ⇒ [1 - Cos²(x)] + 5Cos²(x) = 3 ⇒
4Cos²(x) - 2 = 0
Apliquemos la técnica de binomios conjugados o diferencia de cuadrados:
4Cos²(x) - 2 = 0 ⇒ [2Cos(x) + √2] [2Cos(x) - √2] = 0
Por tanto
Cos(x) = √2/2 ∨ Cos(x) = -√2/2
Las raíces son: x = 45° ∧ x = 135°
(también cumplen x = 225° ∧ x = 315°)
f. 1 - Cos²(x) = -2Sen(x)Cos(x)
1 - Cos²(x) = -2Sen(x)Cos(x) ⇒
Sen²(x) = -2Sen(x)Cos(x) ⇒
Sen²(x) + 2Sen(x)Cos(x) = 0 ⇒
Sen(x)[Sen(x) + 2Cos(x)] = 0 ⇒
Sen(x) = 0 ∨
Sen(x) + 2Cos(x) = 0 ⇒ Sen(x) = -2Cos(x) ⇒ Tg(x) = -2
Por tanto
Las raíces son: x = 0° ∧ x = 117°
(también cumplen x = 180° ∧ x = 297°)
g. 3Ctg(x) = Tg(x)
Expresemos todo en Tg(x)
3Ctg(x) = Tg(x) ⇒ 3/Tg(x) = Tg(x) ⇒ 3 = Tg²(x)
Por tanto
Tg(x) = √3 ∨ Tg(x) = -√3
Las raíces son: x = 60° ∧ x = 120°
(también cumplen x = 240° ∧ x = 300°)
h. 2Tg²(x) + 3 Sec(x) = 0
Expresemos todo en Sec(x)
2Tg²(x) + 3Sec(x) = 0 ⇒ 2[Sec²(x) - 1] + 3Sec(x) = 0 ⇒
2Sec²(x) + 3Sec(x) - 2 = 0
Vamos a seguir el procedimiento en c.
a = 2 b = 3 c = -2
Sustituyendo en la fórmula
Por tanto
Sec(x) = -2 ∨ Sec(x) = 1/2 (imposible)
La raíz es: x = 120°
(también cumple x = 240°)
i. 2√3 Cos²(x) = Sen(x)
Expresemos todo en Sen(x)
2√3 Cos²(x) = Sen(x) ⇒ 2√3 [1 - Sen²(x)] = Sen(x) ⇒
2√3Sen²(x) + Sen(x) - 2√3 = 0
Vamos a seguir el procedimiento en c.
a = 2√3 b = 1 c = -2√3
Sustituyendo en la fórmula Por tanto
Sen(x) = √3/2 ∨ Sen(x) = -2/√3 (imposible)
La raíz es: x = 60°
(también cumple x = 120°)
Explicación paso a paso:
sen²a+ cos²a= 1
Respuesta:
B) = 1