Question

La ecuación trigonométrica 2sen(×)-3=0 resolver en conjunto de los números imaginarios. Con procedimiento y explicación, por favor y gracias.​

Answer 1

Veamos. 2 sen(x) - 3 = 0

O sea sen(x) = 3/2 = 1,5 > 1

No tiene solución en el conjunto de números reales. Sí en números complejos.

Hacemos un cambio en el nombre de la incógnita. x ⇒ z

Sea z = x + i y) un número complejo, x e y números reales.

Por definición es sen(z) = [e^(i z) - e^(- i z)] / (2 i)

Aplicando la identidad de Euler se llega a:

sen(x) = sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y) = 1,5 + 0 i

Igualamos partes reales e imaginarias respectivas.

sen(x) cosh(y) = 1,5

cos(x) senh(y) = 0

Para esta última hay dos posibilidades:

senh(y) = 0; para lo cual es y = 0; reemplazamos en la primera.

sen(x) cosh(0) = 1,5; cosh(0) = 1

Luego sen(x) = 1,5; x es un número real, y = 0 no es solución.

Hacemos ahora cos(x) = 0

O sea x = π/2 o cualquier múltiplo entero de π/2

Con x = π/2 resulta:

sen(π/2) . cosh(y) = 1,5;

Nos queda 1 . cosh(y) = 1,5

Según calculadora y = 0,9624

Una solución: x = π/2: y = 0,9624

z = π/2 + 0,9624 i

Otra solución

x = - π/2; cosh(y) = - 1,5

z = - π/2 - 0,9624 i

Saludos.