Question

Si lanzamos una piedra al aire la altura de la piedra recorre la siguiente función : f(t) = -5t2 +50t; siendo t el tiempo en segundos, y f(t) la altura en metros. Calcula el
segundo que alcanza la máxima altura y cuál es la máxima altura. ¿En qué segundo cae a tierra?. Representa la función.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Datos:

F(t)=  -5t² + 50t

Recordemos que una función cuadrática tiene la siguiente forma:

$F(x)= ax^{2} +bx+c$        a,b,c ∈ R  ∧  a ≠ 0

A su vez, su gráfica va a ser una parábola, y en el punto mas alto o bajo (depende del signo de "a") se va a encontrar el vértice, que va a tener la forma:

$V(h,k)$

Para el ejercicio esto es vital, ya que "h" nos va a decir en que tiempo alcanza la altura máxima y "k" es justamente la altura máxima

Para calcular "h",usamos la siguiente formula:

$h= -\frac{b}{2a}$

Para "k", debemos evaluar "h" en toda la función

*Adjunto gráfica

A)  Calcula el  segundo que alcanza la máxima altura

$h= -\frac{50}{2*(-5)}$

$h= -\frac{50}{-10}$

$h= 5$

Respuesta: Tarda 5 segundos en alcanzar la altura máxima

B) ¿Cuál es la máxima altura?

Evaluamos 5 en toda la función

$F(5)= -5(5)^{2} +50(5)$

$F(5)= -125 + 250$

$F(5)= 125$

Respuesta: La altura máxima es de 125 metros

C) ¿En qué segundo cae a tierra?

Para esto debemos recordar que es el eje de simetría de la función

Supongamos que trazamos una linea vertical desde el vértice, lo que va a pasar es que vamos a tener 2 mitades de la parábola, que serán iguales. Esta es la idea del eje de simetría, lo que nos lleva a decir que este va a ser igual a "h" o que es lo mismo

$x= -\frac{b}{2a}$

Pero esto ya lo calculamos, es 5

Respuesta:  Cae a la Tierra en 5 segundos

Saludoss

Answer 2

La altura máxima se logra luego de 5 segundos y es de 125 metros y llega nuevamente al suelo cuando han transcurrido 10 segundos

Tenemos que la función que representa la trayectoria de la piedra es igual a:

f(t) = -5t² + 50t, donde f(t) esta en metros y t en segundos

La altura máxima como se trata de una parábola con coeficiente cuadrático negativo entonces se encuentra en su único punto crítico que se obtiene derivando e igualando a cero:

-10t + 50 = 0

10t = 50

t = 50/10

t = 5 segundos

La altura máxima es:

f(5) = -5*(5)² +50*5 = -125 + 250 = 125 metros

Cae a la tierra cuando f(t) = 0 pero t es diferente de cero:

-5t² + 50t = 0

t*(-5t + 50) = 0

Como t es diferente de cero entonces:

-5t + 50 = 0

5t = 50

t = 50/5

t = 10 segundos

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