Respuestas
Respuesta:
Proporcionalidad exponencial y logarítmica[editar]
Una variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x, si y es
{\displaystyle y=ka^{x}.\,}
Del mismo
{\displaystyle y=k\log _{a}(x).\,}Determinación experimental[editar]
Para determinar experimentalmente si dos cantidades físicas son directamente proporcionales, uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas. Si los puntos caen en o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la línea.
Relación de equivalencia[editar]
La proporcionalidad es una relación de equivalencia en un conjunto {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} (o incluso {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}). Esto es porque es: reflexiva, simétrica y transitiva. Esto se prueba a continuación usando la definición: si a∝b entonces
{\displaystyle a=kb}, donde k es una constante diferente de cero.
Reflexividad[editar]
Para todo {\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}},
{\displaystyle a=1\cdot a}
Por lo tanto, como uno es una constante diferente de cero,
{\displaystyle a\propto a}Simetría[editar]
Supongase que {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} y a∝b, entonces,
{\displaystyle a=kb\,}
en donde k es una constante diferente de cero. Dividiendo por k, tenemos:
{\displaystyle b={\frac {a}{k}}={\frac {1}{k}}\cdot a}
Como k es diferente de cero, 1/k es también diferente de cero. De modo que:
{\displaystyle b\propto a}Transitividad[editar]
Supongase que {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}, a∝b y b∝c. Entonces,
{\displaystyle a=kb\,}
y,
{\displaystyle b=nc\,}
en donde k y n son constantes distintas de cero. Substituyendo la segunda ecuación en la primera, tenemos:
{\displaystyle a=k\cdot (nc)=(kn)\cdot c}
Como k y n son diferentes a cero, kn debe ser también diferente de cero. Por lo tanto:
{\displaystyle a\propto c}Repartos proporcionales[editar]Antecedente histórico[editar]
Las primeras compañías europeas fueron fundadas por armadores navieros de Italia. Empiezan en el siglo IX. La aritmética negocial, tomada de los árabes por Leonardo de Pisa, tuvo una gran aceptación y uso en Europa en esa época. Se aplicaba en la resolución de problemas vinculados en la repartición de beneficios y pérdidas que acarreaban las actividades de dichas empresa navales.
Casos de repartos proporcionales[editar]
Estos consisten en distribuir un número en partes proporcionales a otros varios y diversos. Pueden presentarse los repartos directos o inversos o compuestos.
"Para repartir un número dato en partes directamente proporcionales a diversos números enteros positivos, se multiplica el número a repartir por cada uno de los enteros y se divide por la suma de todos ellos". Ejemplo
Repartir 120 en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5.
Solución de la ecuación: El primero recibirá 2k, el segundo 3k y el tercero 5k. Los tres reciben 2k + 3k + 5k = 120, de donde 10k = 120. De modo que la incógnita k = 120/10 = 12.
Así al primero le toca 12 x 2 = 24; al segundo, 12 x 3 = 36; al tercero, 12 x 5 = 60.
En partes inversamente proporcionales[editar]
Un padre dispone que, en caso de fallecimiento, sus 6.200 acciones bancarias se repartan en partes inversamente proporcionales a las edades de su hijos que tienen 4, 6 y 10 años respectivamente.
Esto significa que debe recibir más acciones el hijo que tiene menos edad y menos acciones el de más edad.
En este caso se divide en partes 'directamente proporcionales a 1/4, a 1/6 y 1/10. Que llevados a mínimo común denominador, resultan: 15/60, 10/60 y 6/60.
Luego se reparte en partes directamente proporcionales a 15, 10 y 6. Resultando:
El menor con 3.000 acciones; el intermedio, 2.000; y el mayor, con 1.200 acciones.
Consúltese "Arimética [1]" de Lic. L. Galdós. Cultural, S.A. Madrid. (2002). ISBN 9972-891-14-3
Explicación paso a paso: