Question

los griegos aproximaron el valor de pi usando la relacin entre el perimetro y el diametro de un poligono de mulpiples lados. calcula el area y el perimetro de varios poligonos y encuentra un valor aproximado para pi

 

Answer 1

El número de veces que el radio de una circunferencia cabe en su semicircunferencia:
Pi x radio = longitud de una semicircunferencia
2 x Pi x radio = Pi x diámetro = longitud de la circunferencia.

Referirla al radio suele ser más útil para muchísimas operaciones matemáticas y de análisis matemático. En cambio en ingeniería muchas veces se refiere la superficie del círculo al diámetro:

Sup Círc = Pi radio al cuadrado = Pi x diámetro al cuadrado sobre 4
S = Pi r ^2 = Pi (d^2)/4 -----> donde ^2 es elevado al cuadrado

En la referencia al radio también podemos decir que en realidad estamos hayando una longitud de arco de circunferencia de radio r y ángulo central 2.Pi, por lo que 2.Pi representa 360° y Pi un ángulo de 180°, en tal caso Pi es el ángulo en radianes (aprox 57° cada radián).

CALCULO
Su cálculo , no una medición, se hace por series numéricas. Es un número irracional y tiene infinitos decimales.

CLARO QUE... si lo que quieres es medirlo, obtendrás una aproximación por los métodos que ya te han sugerido. Por ejemplo rodear con una cuerda una lata de diámetro conocido, determinar la longitud de la cuerda (la medida de la circunferencia) y dividirla por el diámetro. Pero esto es verificar que estamos en ese orden, pero llegar a PI requiere de un cálculo más elaborado.

Una manera en que encararon su cálculo fue imaginar un polígono regular inscripto en una circunferencia de n lados, y otro circunscripto también de n lados.

Planteando el perímetro del n-gono (eneágono, polígono de n lados) y deduciendo una expresión que generalizara el cálculo para cualquier valor de n, al buscar que n tendiera a infinito resulta que cada lado tiende a ser un punto, y por ende el polígono a una circunferencia.

Eso conduce a una expresión de infinitos términos convergente para n tendiendo a infinito.

Igualándola con 2.Pi r se despeja Pi, o sea:
Pi = (1/(2r)) serie(r,n)

Con este método, pero lmitandose a un "n" alto y calculando longitudes de circunferencia por aproximación de polígonos inscriptos y circunscriptos, Arquímedes llegó a un valor con error entre 0.024% y 0.040%, y Claudio Ptolomeo (siglo II) llegó a un valor fraccionaro (una aproximación, ya que Pi es IRRACIONAL y no se puede expesar por un cociente de este tipo en forma exacta). PI (aprox.) = 377/120

De los desarrollos en serie se destacan la serie de John Wallis:

Pi/2 = (2/1).(2/3).(4/3).(4/5).(6/5).(6/7).(8/7…

(fijate, ya que acá no se puede mostrar fácilmente, quelos numeradores siguen la secuencia 2.2.4.4.6.6.8.8....
y los denominadores 1.3.3.5.5.7.7.9.9...)

Y la serie de Gottfried Leibniz:

Pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+... 
= Sumatoria(entre n=0 y n=infinito) ( (-1)^n ) / (2 n +1)

(entre otras series)

Finalmente hay una descripción más completa tanto en wikipedia en inglés como en castellano (alguna diferencia de contenido), que abarca los cálculos más recientes con la ayuda del computador, lo que una vez más resalta la paciencia y dedicación de los que hicieron su cálculo en la era precomputacional!