Question

Los vértices de un triángulo son A (- 1.3), B (3,5) y C (7,- 1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC
Ayudenme porfa!!!

Answer 1

El álgebra vectorial resuelve este problema en forma simple

Las coordenadas del punto D son x = (-1+3)/2 = 1;y = (3+5)/2 = 4

Las del punto E son x =(3+7)/2 = 5; y = (5 -1)/2 = 2

D(1, 4); E(5, 2)

Ahora los vectores.

AC = (7, -1) - (-1, 3) = (8, -4)

El vector DE = (5, 2) - (1, 4) =  (4, -2)

Como se observa las coordenadas del vector DE son las mitades de las del vector AC

Además se observa que el vector DE y AC son paralelos.

Adjunto un gráfico.

Saludos Herminio

Answer 2

Hay una forma más sencilla, la cuál explicaré a continuación.

Primero busca las coordenadas de los puntos D y E.

se halla de la siguiente manera:

"¡PARA "D"!

PM(AB)x=  $\frac{x_{1} + x_{2}  }{2}$

&

PM(AB)y = $\frac{y_{1} + y_{2}  }{2}$

¡LO MISMO PARA "E"! - recuerda que para "E" se usa el segmento BC.

¡Bien!, ahora que tenemos los puntos "D" y "E", tenemos que hallar la longitud del segmento DE, la cual se halla de la siguiente manera:

d(DE) = $\sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2}}$

Ahora hallaremos el punto medio del segmento AC.

PM(AC)x=  $\frac{x_{1} + x_{2}  }{2}$

&

PM(AC)y = $\frac{y_{1} + y_{2}  }{2}$

-Si lo haces bien, deberías obtener las coordenadas (3,1), a esta coordenada le pondremos "Z".

Luego de que conocemos el punto medio del segmento AC, solo hay que hallar la longitud del segmento (A-Z), oséa, hallamos la longitud que hay en la recta de vértices A(-1,3)  y Z(3,1), esta última, siendo la coordenada del punto medio del segmento AC.

Si las distancias de los segmentos DE y AZ son iguales, significa que, efectivamente, la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC.

-Juan Sebastián Loaiza (Universidad Tecnológica de Pereira/Colombia - Ingeniería de Sistemas y Computación)