Respuestas
) Transformar la división en una multiplicación, invirtiendo la segunda fracción:
Cambié el signo de división por el de multiplicación, y "dí vuelta" la segunda fracción. (¿y no se puede hacer de otra forma?) Porque, dividir por una fracción, es equivalente a multiplicar por la fracción inversa (¿qué es la fracción inversa?).
2) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar losCasos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción que corresponda:
x2 - 4 = con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x 2
(x + 2).(x - 2)
3x - 15 = con el Primer Caso de Factoreo (Factor Común)
3.(x - 5)
Y luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:
2) Simplificar:
Como ahora la operación es una multiplicación, puedo simplicar como se hace en las multiplicaciones. Aquí, el polinomio (x + 2) está "repetido": aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Y el polinomio (x - 5) también está repetido: aparece en el denominador de la primera fracción, y en el numerador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". (en el apartado dedicado a la SIMPLIFICACIÓN ya expliqué cómo se simplifican los polinomios)
1 1
En los denominadores de ambas fracciones se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en los denominadores de esas fracciones, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. (más sobre esto)
Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:
x + 2 ≠ 0
x ≠ -2 (¿por qué?)
x - 5 ≠ 0
x ≠ 5
3) Multiplicar:
Luego de simpilficar, las dos fracciones ("pasadas en limpio") quedaron así:
(Este paso no es necesario, se puede obviar)
Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:
(Este paso tampoco es imprescindible)
= (Queda mejor con el "3" adelante) (Otro paso que se puede obviar)
3.(x - 2)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
¿Cómo se dividen las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?
Recordemos que para dividir las fracciones numéricas, podíamos "transformar en multiplicación dando vuelta la segunda fracción". Por ejemplo, hacíamos así:
Bueno, para dividir las Expresiones Algebraicas Racionales, se suele usar ese mismo procedimiento. Por ejemplo:
Una vez transformada la operación en una multiplicación, se aplica todo lo que ya vió para multiplicación: simplificar y multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Así que, la diferencia con la multiplicación es sólo un paso donde se invierte la segunda fracción. Una vez que se aprendió a multiplicar, ya se sabe todo lo necesario para dividir.
(Todo sobre multiplicación de expresiones algebraicas racionales)
¿Y no se podría hacer con el otro método para dividir fracciones?
Sí, por supuesto. Recordemos que el otro método para dividir fracciones numéricas era "multiplicar cruzado", así:
Es decir: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado es la fracción formada por ambos resultados.
Pero en este tema de las fracciones con polinomios, casi siempre tendremos que simplificar antes de multiplicar. Entonces, conviene recordar cómo se puede simplificar en una división: "numerador con numerador o denominador con denominador" (lo contrario de lo que se hace en la multiplicación de fracciones). Lo muestro en un ejemplo numérico:
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Y acá muestro cómo sería con el EJEMPLO de fracciones con polinomios:
no lo transformo en multiplicación, no invierto la segunda fracción
simplifico como se debe en una división
aplico la regla para la división de fracciones: producto cruzado
3.(x - 2)
¿Qué es la "fracción inversa" de una fracción?
Podemos decir que es la fracción "al revés" de ella. Por ejemplo, la fracción inversa de 2/5 es 5/2. La fracción inversa de 4/7 es 7/4.
2/5 y 5/2 son fracciones inversas entre sí
4/7 y 7/4 son fracciones inversas entre sí
Es decir, es la que tiene en el numerador el denominador de la otra; y tiene en el denominador, el numerador de la otra: "Tiene los números cambiados de lugar", "el de arriba lo tiene abajo, y el de abajo lo tiene arriba".
Y cuando multiplico dos fracciones inversas entre sí, el resultado es 1:
2/5 x 5/2 = 1
4/7 x 7/4 = 1
A una fracción que es inversa de otra se le llama "el inverso multiplicativo". El "inverso multiplicativo" de un número real es otro número tal que, multiplicado por el primero, dé como resultado "1". Todos los números reales tienen inverso multiplicativo, con excepción del cero.